Seja B=v1, v2, v3 a base de R^3 constituída pelos vectores
v1=(2,0,0), v2=(1,1,0) e v3=(1,1,1)
Qual é o vector de R^3 que nesta base tem componentes (0,3,5) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor no espaço R^3 que, na base B=v1, v2, v3, tem as componentes (0,3,5). A gente vai usar o conteúdo de mudança de base e combinação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base em R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. No nosso caso, a base B é formada pelos vetores:
v1 = (2,0,0), v2 = (1,1,0), v3 = (1,1,1)

Passo 3

Quando nos dizem que um vetor tem componentes (0,3,5) nessa base, significa que podemos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base multiplicados por essas componentes. Ou seja:
u = 0 cdot v1 + 3 cdot v2 + 5 cdot v3

Passo 4

Vamos calcular essa combinação linear passo a passo:
  1. Multiplicar cada vetor da base pela sua componente correspondente:
    0 cdot v1 = (0 cdot 2, , 0 cdot 0, , 0 cdot 0) = (0,0,0)
    3 cdot v2 = (3 cdot 1, , 3 cdot 1, , 3 cdot 0) = (3,3,0)
    5 cdot v3 = (5 cdot 1, , 5 cdot 1, , 5 cdot 1) = (5,5,5)
  2. Somar os resultados das multiplicações:
    u = (0,0,0) + (3,3,0) + (5,5,5) = (0+3+5, , 0+3+5, , 0+0+5) = (8,8,5)

Resposta

O vetor de R^3 que na base B tem componentes (0,3,5) é (8,,8,,5).

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Determine a equação reduzida e geral da circunferência de:
C0=(12,-13) e r=raiz3
Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
x^2+y^2-16 x-8 y+67=0
Determine o valor de k de modo que o sistema
ccc -x+2 y+k z & = & 1 k x+4 y-4 z & = & 2 2 x+y+z & = & -2 k
seja:
(a) indeterminado.
(b) impossível.