Considere v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0).
(b) v=(1,1,1) é uma combinação linear de v1, v2 e v3 ?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos três vetores:
v1 = (4, 2, -3), v2 = (2, 1, -2), v3 = (-2, -1, 0)
E queremos saber se o vetor a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v pode ser formado como uma combinação linear desses três vetores. Basicamente, precisamos descobrir se existem números , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e verificar se ele tem solução.

Passo 2

Vamos escrever a equação da combinação linear de forma mais detalhada, componente por componente:
4a + 2b - 2c = 1 2a + b - c = 1 -3a - 2b + 0c = 1
Esse sistema representa as três componentes do vetor resultante igualando-se a . Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos começar pela terceira equação, que é:
-3a - 2b = 1
Podemos simplificar isso para:
3a + 2b = -1
Essa equação vai nos ajudar a relacionar e .

Passo 4

Agora, vamos pegar a segunda equação:
2a + b - c = 1
Podemos isolar c = 2a + b - 1 :
Isso expressa em termos de e , o que vai facilitar na substituição na primeira equação.

Passo 5

Vamos substituir a expressão de 4a + 2b - 2c = 1 na primeira equação:
4a + 2b - 2(2a + b - 1) = 1
Substituindo 4a + 2b - 4a - 2b + 2 = 1 :
0a + 0b + 2 = 1
Distribuindo o -2:
2 = 1
Simplificando:
Ou seja:

Passo 6

A equação é uma contradição, ou seja, é impossível que 2 seja igual a 1. Isso significa que não existe solução para o sistema de equações, ou seja, não existem valores de , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .

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