Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro k. Precisamos descobrir o valor de k para que o sistema seja:
a) Indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções).
b) Impossível (ou seja, não tenha solução).
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante e análise de matrizes, que nos ajuda a entender quando um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
b) Para o sistema ser impossível, o determinante deve ser zero e o sistema deve ser inconsistente. Isso ocorre quando a equação do determinante é zero, mas as equações não são múltiplas umas das outras. Portanto, os valores de k que tornam o sistema impossível são aqueles que não satisfazem a condição de serem indeterminados, ou seja, quando o determinante é zero, mas as constantes não estão de acordo. No nosso caso, não há valores adicionais além de k = 12 ou k = -2, que já fazem o sistema ser indeterminado. Portanto, não há valores de k que tornam o sistema impossível.
Resposta
a) k = 12 ou k = -2 para o sistema ser indeterminado.
b) Não há valores de k que tornam o sistema impossível.