Determine o valor de k de modo que o sistema
ccc -x+2 y+k z & = & 1 k x+4 y-4 z & = & 2 2 x+y+z & = & -2 k
seja:
(a) indeterminado.
(b) impossível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. Precisamos descobrir o valor de k para que o sistema seja:
a) Indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções).
b) Impossível (ou seja, não tenha solução).
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante e análise de matrizes, que nos ajuda a entender quando um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
-1 & 2 & k & | & 1 k & 4 & -4 & | & 2 2 & 1 & 1 & | & -2k
A ideia é calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem os termos constantes) e ver quando ele é igual a zero ou diferente de zero.

Passo 3

O determinante de uma matriz 3x3:
a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Vamos aplicar isso à nossa matriz de coeficientes:
-1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1 = -1(4 cdot 1 - (-4) cdot 1) - 2(k cdot 1 - (-4) cdot 2) + k(k cdot 1 - 4 cdot 2)

Passo 4

Calculando cada parte do determinante:
-1(4 + 4) - 2(k + 8) + k(k - 8) = -1(8) - 2(k + 8) + k^2 - 8k
Simplificando:
-8 - 2k - 16 + k^2 - 8k = k^2 - 10k - 24
Então, o determinante é k^2 - 10k - 24.

Passo 5

Agora, analisamos os casos:
a) Para o sistema ser indeterminado, o determinante deve ser zero e o sistema deve ser consistente. Então, resolvemos:
k^2 - 10k - 24 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
k = 10 pm raiz100 + 962 = 10 pm raiz1962 = 10 pm 142
Portanto, k = 12 ou k = -2.
b) Para o sistema ser impossível, o determinante deve ser zero e o sistema deve ser inconsistente. Isso ocorre quando a equação do determinante é zero, mas as equações não são múltiplas umas das outras. Portanto, os valores de k que tornam o sistema impossível são aqueles que não satisfazem a condição de serem indeterminados, ou seja, quando o determinante é zero, mas as constantes não estão de acordo. No nosso caso, não há valores adicionais além de k = 12 ou k = -2, que já fazem o sistema ser indeterminado. Portanto, não há valores de k que tornam o sistema impossível.

Resposta

a) k = 12 ou k = -2 para o sistema ser indeterminado.
b) Não há valores de k que tornam o sistema impossível.

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