Beleza, então a gente tem a função . O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar o que a gente chama de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Fatorando:
Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de :
Se , então
Se , então
Portanto, os pontos críticos são e .
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas: