Determine e classifique os pontos críticos de
f(x, y) = 2 x^3 - 3 x y + 2 y^3 + 10

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função . O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar o que a gente chama de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:

Passo 4

Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Fatorando:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  1. Se , então
  2. Se , então
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante de Hessian é dado por:
Vamos calcular em cada ponto crítico.

Passo 7

Para o ponto :
Quando , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui dois pontos críticos:
  1. que é um ponto de sela.
  2. que é um mínimo local.

Exercícios relacionados

Ache a equação do plano tangente à superfície
z = x^2 + 3y^2 - x + 3
no ponto 1,1,6
Esboce o gráfico de f(x) = |x^3 - 1|, utilizando os gráfico de funções mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Em cada caso, deixe indicado as interseções com os eixos x e y se existirem.
integral-1^1 integral-1 / raiz1-x^2^1 / raiz1-x^2(2 y+1) d y d x.
Calcule:
(m) 2 * (raiz(2) - 1)