Determine e classifique os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função
. O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar o que a gente chama de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Fatorando:
Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
- Se
, então - Se
, então
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante de Hessian é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
Passo 7
Para o ponto
:
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
Resposta
A função
possui dois pontos críticos:
-
que é um ponto de sela. -
que é um mínimo local.