Esboce o gráfico de , utilizando os gráfico de funções mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Em cada caso, deixe indicado as interseções com os eixos x e y se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar gráficos de funções mais simples e aplicar algumas transformações. Vamos precisar entender de funções absolutas, polinomiais e como elas se comportam no gráfico. Também vamos identificar onde a função cruza os eixos e .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto: . Essa é uma função cúbica, que tem um gráfico diferente das funções lineares ou quadráticas. Sabemos que funções cúbicas têm pontos de inflexão e podem cruzar os eixos e . Vamos esboçar o gráfico de antes de aplicar o valor absoluto.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de . Quando , , então o gráfico cruza o eixo no ponto . Para encontrar onde cruza o eixo , resolvemos , que dá . Então, o gráfico de cruza o eixo no ponto .
Passo 4
Agora, vamos aplicar o valor absoluto à função . A função vai refletir todas as partes do gráfico de que estão abaixo do eixo para cima. Ou seja, onde é negativo, será o seu valor positivo.
Passo 5
Vamos dividir o gráfico em duas partes:
Para : é positivo ou zero, então . Nessa região, o gráfico de é igual ao de .
Para : é negativo, então . Aqui, refletimos o gráfico de sobre o eixo .
Passo 6
Vamos identificar as interseções com os eixos:
Eixo : Já vimos que quando , , então . Portanto, cruza o eixo no ponto .
Eixo : será zero quando , ou seja, . Então, cruza o eixo no ponto .
Passo 7
Vamos resumir os pontos importantes para o esboço:
Ponto de interseção com o eixo : .
Ponto de interseção com o eixo : .
Para , o gráfico segue .
Para , o gráfico é .
Resposta
O gráfico de tem uma interseção com o eixo no ponto e com o eixo no ponto . Para , o gráfico segue a função cúbica , e para , é a reflexão dessa função sobre o eixo , resultando em . Assim, o esboço mostra uma curva que desce até e depois sobe, refletindo suavemente a forma da função cúbica original.