Ache a equação do plano tangente à superfície
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície nos pontos que nos interessam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Aqui, temos:
Queremos encontrar a equação do plano tangente nesse ponto específico. Para isso, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de
e
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Esses valores representam as inclinações da superfície no ponto específico em relação a
e
.
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita da seguinte forma:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Passo 6
Substituindo os valores que já temos na equação do plano:
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: