Ache a equação do plano tangente à superfície
z = x^2 + 3y^2 - x + 3
no ponto 1,1,6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície nos pontos que nos interessam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Aqui, temos:
Queremos encontrar a equação do plano tangente nesse ponto específico. Para isso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Esses valores representam as inclinações da superfície no ponto específico em relação a e .

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita da seguinte forma:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .

Passo 6

Substituindo os valores que já temos na equação do plano:
Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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