Determine a componente mais simples da velocidade na direção para que o escoamento seja incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a componente mais simples da velocidade na direção para que o escoamento seja incompressível. Aqui estamos lidando com mecânica dos fluidos, especificamente com a condição de escoamento incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser incompressível. Em termos simples, um escoamento é incompressível quando a densidade do fluido não muda de ponto para ponto ao longo do tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de divergência da velocidade ser igual a zero.

Passo 3

A divergência da velocidade ( ) em coordenadas cartesianas é dada por:
Aqui, é a componente da velocidade na direção e é a componente na direção .

Passo 4

Queremos encontrar a forma mais simples para a componente que satisfaça essa condição. Vamos supor que seja uma constante, ou seja, , onde é uma constante qualquer. Se é constante, então sua derivada em relação a é zero:
Substituindo isso na condição de incompressibilidade:

Passo 5

A equação nos diz que a derivada de em relação a é zero. Isso significa que não depende de , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de :

Resposta

A componente mais simples da velocidade na direção para que o escoamento seja incompressível é uma constante, ou seja,

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