Determine a componente mais simples da velocidade na direção
para que o escoamento seja incompressível.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a componente mais simples da velocidade na direção
para que o escoamento seja incompressível. Aqui estamos lidando com mecânica dos fluidos, especificamente com a condição de escoamento incompressível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser incompressível. Em termos simples, um escoamento é incompressível quando a densidade do fluido não muda de ponto para ponto ao longo do tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de divergência da velocidade ser igual a zero.
Passo 3
A divergência da velocidade (
) em coordenadas cartesianas é dada por:
Aqui,
é a componente da velocidade na direção
e
é a componente na direção
.
Passo 4
Queremos encontrar a forma mais simples para a componente
que satisfaça essa condição. Vamos supor que
seja uma constante, ou seja,
, onde
é uma constante qualquer. Se
é constante, então sua derivada em relação a
é zero:
Substituindo isso na condição de incompressibilidade:
Passo 5
A equação
nos diz que a derivada de
em relação a
é zero. Isso significa que
não depende de
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
:
Resposta
A componente mais simples da velocidade na direção
para que o escoamento seja incompressível é uma constante, ou seja,
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