Utilizando a equação diferencial da conservação da massa em coordenadas cartesianas, determine uma expressão da densidade em função do tempo. A densidade não varia com a posição
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa usar a equação diferencial da conservação da massa em coordenadas cartesianas para encontrar uma expressão que mostre como a densidade (
) varia com o tempo (
). Além disso, foi dito que a densidade não muda com a posição
, ou seja,
é só função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da continuidade, que é a expressão matemática da conservação da massa. Essa equação nos ajuda a relacionar como a densidade e a velocidade de um fluido mudam no espaço e no tempo.
Passo 2
A equação da continuidade em coordenadas cartesianas (1D) é dada por:
Aqui,
é a densidade,
é a velocidade do fluido,
representa a variação da densidade no tempo, e
representa a variação da densidade com a posição
.
Passo 3
Mas, conforme o enunciado, a densidade não varia com a posição
. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é zero. Ou seja:
Portanto, a equação da continuidade simplifica para:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial simples:
Isso quer dizer que a derivada da densidade em relação ao tempo é igual a zero. Ou seja, a densidade não está mudando com o tempo.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar a equação acima:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Como a densidade não está variando com o tempo, ela permanece constante. Podemos chamar essa constante de
, que representa a densidade inicial do sistema.
Resposta
A densidade em função do tempo é constante e dada por
.