Utilizando a equação diferencial da conservação da massa em coordenadas cartesianas, determine uma expressão da densidade em função do tempo. A densidade não varia com a posição .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa usar a equação diferencial da conservação da massa em coordenadas cartesianas para encontrar uma expressão que mostre como a densidade ( ) varia com o tempo ( ). Além disso, foi dito que a densidade não muda com a posição , ou seja, é só função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da continuidade, que é a expressão matemática da conservação da massa. Essa equação nos ajuda a relacionar como a densidade e a velocidade de um fluido mudam no espaço e no tempo.

Passo 2

A equação da continuidade em coordenadas cartesianas (1D) é dada por:
Aqui, é a densidade, é a velocidade do fluido, representa a variação da densidade no tempo, e representa a variação da densidade com a posição .

Passo 3

Mas, conforme o enunciado, a densidade não varia com a posição . Isso significa que a derivada parcial de em relação a é zero. Ou seja:
Portanto, a equação da continuidade simplifica para:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial simples:
Isso quer dizer que a derivada da densidade em relação ao tempo é igual a zero. Ou seja, a densidade não está mudando com o tempo.

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar a equação acima:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Como a densidade não está variando com o tempo, ela permanece constante. Podemos chamar essa constante de , que representa a densidade inicial do sistema.

Resposta

A densidade em função do tempo é constante e dada por .

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