Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico em seu centro é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera possuem 0,15 e 0,18 m, respectivamente, e o teste é realizado em condições de regime estacionário com superfície interna do alumínio mantida a 250^circ C. Para um teste em particular, uma casca esférica de isolamento térmico é fundida sobre a superfície externa da esfera até uma espessura de 0,30 m. O sistema encontra-se em uma sala na qual temperatura do ar é de 20^circ C e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolamento é de 30 W / m^2.K. Se 800 W são dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual é a condutividade térmica do isolamento usado?

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo transferência de calor em uma esfera oca de alumínio com isolamento térmico. O objetivo aqui é descobrir qual é a condutividade térmica do material isolante usado. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de condução e convecção de calor, além de usar algumas fórmulas matemáticas relacionadas a essas transferências de calor. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime estacionário. Isso quer dizer que a quantidade de calor que entra no sistema é igual à quantidade que sai, ou seja, a temperatura não está mais mudando com o tempo. Nesse caso, sabemos que 800 W de potência estão sendo dissipados pelo aquecedor, e essa é a quantidade de calor que está fluindo através do sistema.

Passo 3

Agora, vamos calcular a resistência térmica total do sistema. A resistência térmica nos ajuda a entender quanta dificuldade o calor encontra para passar através de diferentes materiais. A fórmula para resistência térmica total Rtotal = Ralumínio + Risolamento + Rconvecção em um sistema como este é:
íçã
Aqui, temos três resistências térmicas:
  1. Resistência do alumínio ( í)
  2. Resistência do isolamento ( )
  3. Resistência da convecção na superfície externa ( çã)

Passo 4

Vamos calcular a Resistência Total usando a relação entre potência, temperatura e resistência térmica. Sabemos que:
Q = De
Onde:
  • Rtotal = De é a potência (800 W)
  • é a diferença de temperatura (250°C - 20°C = 230 K)
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos calcular a Resistência Térmica do Alumínio ( R = ln(rexternorinterno)4pi k L í). A fórmula para resistência térmica em uma esfera é:
Mas como queremos apenas a resistência do alumínio e não conhecemos a condutividade do alumínio ( ), vamos considerar que a resistência do alumínio é muito pequena comparada à do isolamento. Assim, podemos simplificar e focar apenas na resistência do isolamento e da convecção.

Passo 6

Vamos calcular agora a Resistência da Convecção ( Rconvecção = 1h cdot A çã). A fórmula para resistência térmica da convecção é:
rexterno = 0,18 , m + 0,30 , m = 0,48 , m çã
Onde:
  • A = 4pi rexterno^2 = 4pi (0,48)^2 approx 2,884 , m² é o coeficiente de transferência de calor por convecção (30 W/m².K)
  • Rconvecção = 130 times 2,884 approx 0,0116 , K/W é a área da superfície externa do isolamento
Primeiro, calculamos a área da superfície externa usando o raio externo mais a espessura do isolamento:
Área da superfície externa:
²
Agora, calculamos çã:
çã

Passo 7

Agora que temos Risolamento = Rtotal - Rconvecção = 0,2875 - 0,0116 = 0,2759 , K/W e çã, podemos encontrar a Resistência do Isolamento ( ):
çã

Passo 8

Por fim, vamos encontrar a Condutividade Térmica do Isolamento ( R = ln(rexternorinterno)4pi k ). Usamos a fórmula da resistência térmica para condução em uma esfera:
k = ln(rexternorinterno)4pi R
Rearranjando para ln(0,480,18) = ln(2,6667) approx 0,9808 :
k = 0,98084pi times 0,2759 approx 0,98083,466 approx 0,283 , W/mK
Onde:
Calculando:

Resposta

A condutividade térmica do isolamento utilizado é aproximadamente 0,283 W/m·K.

Exercícios relacionados