Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico em seu centro é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera possuem 0,15 e
, respectivamente, e o teste é realizado em condições de regime estacionário com superfície interna do alumínio mantida a
. Para um teste em particular, uma casca esférica de isolamento térmico é fundida sobre a superfície externa da esfera até uma espessura de
. O sistema encontra-se em uma sala na qual temperatura do ar é de
e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolamento é de
.K. Se 800 W são dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual é a condutividade térmica do isolamento usado?
Passo 1
Então, a gente tem um problema envolvendo transferência de calor em uma esfera oca de alumínio com isolamento térmico. O objetivo aqui é descobrir qual é a condutividade térmica do material isolante usado. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de condução e convecção de calor, além de usar algumas fórmulas matemáticas relacionadas a essas transferências de calor. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime estacionário. Isso quer dizer que a quantidade de calor que entra no sistema é igual à quantidade que sai, ou seja, a temperatura não está mais mudando com o tempo. Nesse caso, sabemos que 800 W de potência estão sendo dissipados pelo aquecedor, e essa é a quantidade de calor que está fluindo através do sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular a resistência térmica total do sistema. A resistência térmica nos ajuda a entender quanta dificuldade o calor encontra para passar através de diferentes materiais. A fórmula para resistência térmica total
em um sistema como este é:
Aqui, temos três resistências térmicas:
- Resistência do alumínio (
) - Resistência do isolamento (
) - Resistência da convecção na superfície externa (
)
Passo 4
Vamos calcular a Resistência Total usando a relação entre potência, temperatura e resistência térmica. Sabemos que:
Onde:
-
é a potência (800 W) -
é a diferença de temperatura (250°C - 20°C = 230 K)
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a Resistência Térmica do Alumínio (
). A fórmula para resistência térmica em uma esfera é:
Mas como queremos apenas a resistência do alumínio e não conhecemos a condutividade do alumínio (
), vamos considerar que a resistência do alumínio é muito pequena comparada à do isolamento. Assim, podemos simplificar e focar apenas na resistência do isolamento e da convecção.
Passo 6
Vamos calcular agora a Resistência da Convecção (
). A fórmula para resistência térmica da convecção é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção (30 W/m².K) -
é a área da superfície externa do isolamento
Primeiro, calculamos a área da superfície externa usando o raio externo mais a espessura do isolamento:
Área da superfície externa:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos encontrar a Resistência do Isolamento (
):
Passo 8
Por fim, vamos encontrar a Condutividade Térmica do Isolamento (
). Usamos a fórmula da resistência térmica para condução em uma esfera:
Rearranjando para
:
Onde:
Calculando:
Resposta
A condutividade térmica do isolamento utilizado é aproximadamente 0,283 W/m·K.
Exercícios relacionados
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e é feito de vidro com espessura igual a
). O reservatório é revestido externamente por uma camada de lã de vidro de espessura igual a
. A temperatura na face interna do vidro é
e na face externa do isolamento é
. Calcular o fluxo de calor através da parede e as temperatura na interface vidro/isolante.
Determine a componente mais simples da velocidade na direção
para que o escoamento seja incompressível.
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e
, respectivamente. A temperatura da superfície interna do tubo de vapor é
e a da superfície externa do segundo isolante é
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