Determine o comprimento das curvas abaixo:
(b) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de uma curva definida por e , onde varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas de e em relação a e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a .
Para :
Isso vem da regra do produto, onde a derivada de é 1 e a derivada de é .
Para :
Aqui também usamos a regra do produto, derivando e .

Passo 3

Agora que temos e , vamos usar a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Antes de integrar, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Expandindo os quadrados:
Somando essas duas expressões:
Observe que os termos e se cancelam. Ficamos com:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora a integral ficou muito mais simples:
Essa integral é uma forma padrão. Usamos a substituição trigonométrica ou reconhecemos que a integral de é:
Mas para o comprimento, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

Calculando os limites, obtemos:
Portanto, o comprimento da curva é:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica.
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e .
Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
(b)
©
(d)
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) .
Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .