Determine o comprimento das curvas abaixo:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento de uma curva definida por e
, onde
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas de
e
em relação a
e aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Para :
Isso vem da regra do produto, onde a derivada de
é 1 e a derivada de é
.
Para
:
Aqui também usamos a regra do produto, derivando
e
.
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos usar a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Expandindo os quadrados:
Somando essas duas expressões:
Observe que os termos e se cancelam. Ficamos com:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora a integral ficou muito mais simples:
Essa integral é uma forma padrão. Usamos a substituição trigonométrica ou reconhecemos que a integral de
é:
Mas para o comprimento, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
Calculando os limites, obtemos:
Portanto, o comprimento da curva é:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica.
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) .
(d)
Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por
e
em torno do eixo
.