Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o comprimento da curva definida por
e
no intervalo de
até
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, precisaremos utilizar a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica
e
de
até
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expanda ambos os quadrados:
Somando as duas expressões:
Passo 6
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 8
Integrando
:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(b) .
(b)
Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica.
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por
e
em torno do eixo
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
a) e
.
b) .
c) e
.
d) e
e) e
.
f) e
.
g)
h) e
.
i) e
.
j) e
l) e
.
m) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)