Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) x = e^t sen(t), y = e^t cos(t); 0 <= t <= pi.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o comprimento da curva definida por e no intervalo de até . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, precisaremos utilizar a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica e de até :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expanda ambos os quadrados:
Somando as duas expressões:

Passo 6

Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 8

Integrando :

Resposta

O comprimento da curva é .

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