Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o comprimento da curva definida por e no intervalo de até . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, precisaremos utilizar a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica e de até :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expanda ambos os quadrados:
Somando as duas expressões:

Passo 6

Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 8

Integrando :

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Determine o comprimento das curvas abaixo:
(b) .
Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica.
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e .
Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e .
b) .
c) e .
d) e
e) e .
f) e .
g)
h) e .
i) e .
j) e
l) e .
m) .