Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o comprimento da curva definida por
e
no intervalo de
até
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, precisaremos utilizar a fórmula para o comprimento de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica
e
de
até
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expanda ambos os quadrados:
Somando as duas expressões:
Passo 6
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 8
Integrando
:
Resposta
O comprimento da curva é
.