Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por (0, b) e (h, a) em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um tronco de cone circular reto que é formado girando um segmento de reta que passa pelos pontos (0, b) e (h, a) em torno do eixo x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo volumes de sólidos de revolução, especificamente utilizando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (0, b) e (h, a). A forma geral de uma reta é , onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular m. Usamos a fórmula:
Então, a equação da reta fica:

Passo 4

Agora, para encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa reta em torno do eixo x, usamos a fórmula do volume por método dos discos:
Onde f(x) é a função que define a curva, neste caso, nossa reta.

Passo 5

Identificamos os limites de integração. A rotação ocorre desde x = 0 até . Então, nossos limites são de 0 a h.

Passo 6

Substituímos f(x) pela equação da reta na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir o quadrado dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 10

Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão do volume:

Passo 11

Simplificamos cada termo:

Passo 12

Juntamos todos os termos simplificados:

Passo 13

Fatoramos h e simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
Vamos expandir :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

O volume do tronco de cone é dado por:

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