Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um tronco de cone circular reto que é formado girando um segmento de reta que passa pelos pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo volumes de sólidos de revolução, especificamente utilizando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e . A forma geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente angular . Usamos a fórmula:
Então, a equação da reta fica:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa reta em torno do eixo , usamos a fórmula do volume por método dos discos:
Onde é a função que define a curva, neste caso, nossa reta.
Passo 5
Identificamos os limites de integração. A rotação ocorre desde até . Então, nossos limites são de a .
Passo 6
Substituímos pela equação da reta na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir o quadrado dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 10
Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão do volume:
Passo 11
Simplificamos cada termo:
Passo 12
Juntamos todos os termos simplificados:
Passo 13
Fatoramos e simplificamos a expressão dentro dos parênteses: