Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um tronco de cone circular reto que é formado girando um segmento de reta que passa pelos pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo volumes de sólidos de revolução, especificamente utilizando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e . A forma geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular . Usamos a fórmula:
Então, a equação da reta fica:

Passo 4

Agora, para encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa reta em torno do eixo , usamos a fórmula do volume por método dos discos:
Onde é a função que define a curva, neste caso, nossa reta.

Passo 5

Identificamos os limites de integração. A rotação ocorre desde até . Então, nossos limites são de a .

Passo 6

Substituímos pela equação da reta na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir o quadrado dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 10

Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão do volume:

Passo 11

Simplificamos cada termo:

Passo 12

Juntamos todos os termos simplificados:

Passo 13

Fatoramos e simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
Vamos expandir :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

O volume do tronco de cone é dado por:

Exercícios relacionados

Determine o comprimento das curvas abaixo:
(d) .
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(b) .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e .
b) .
c) e .
d) e
e) e .
f) e .
g)
h) e .
i) e .
j) e
l) e .
m) .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
e) e .