Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o comprimento das curvas dadas. A gente vai usar o conceito de comprimento de curvas paramétricas, que faz parte do cálculo diferencial. Para isso, precisamos saber a fórmula que calcula o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos uma função vetorial , o comprimento da curva no intervalo é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a parte (a):
(a) com
Primeiro, identificamos as funções de cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de cada componente em relação a :
(já que é constante)
Passo 5
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou .