Determine o comprimento das curvas.
(a) com
(b) com
©
(d) (espiral)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o comprimento das curvas dadas. A gente vai usar o conceito de comprimento de curvas paramétricas, que faz parte do cálculo diferencial. Para isso, precisamos saber a fórmula que calcula o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos uma função vetorial , o comprimento da curva no intervalo é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte (a):
(a) com
Primeiro, identificamos as funções de cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de cada componente em relação a :
  • (já que é constante)

Passo 5

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento fica:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou .
Quando , ; e quando , .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :

Passo 10

Calculando os limites:
Então,

Resposta

O comprimento da curva para é:

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas da retas que verificam as condições dadas abaixo:
(a) Passa pela origem e pelo ponto .
(b) Passa pelo ponto e é perpendicular aos vetores e .
© Passa pelo ponto e é paralela a reta .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo , do conjunto de todos os pontos tais que:
Calcule o comprimento do gráfico da funçāo dada: