Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo X, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que:
0 <= y <= raiz(2 - x^2), 1 <= x <= raiz(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que aparece quando a gente gira uma região em torno do eixo X. A região é definida pelas desigualdades e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é perfeito para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A inequação representa a parte superior de um círculo com raio raiz(2) centrado na origem. Mas como temos , estamos olhando apenas para a parte do círculo onde x varia entre 1 e raiz(2).

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo X, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , que é a função que descreve a fronteira superior da nossa região. Os limites de integração são e .

Passo 4

Vamos substituir f(x) na fórmula:
Simplificando a express��o dentro do integral:
Então, o integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o integral:
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a raiz(2):
Calculando para :
Calculando para x = 1:

Passo 7

Subtraindo os resultados:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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