Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo , do conjunto de todos os pontos tais que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que aparece quando a gente gira uma região em torno do eixo . A região é definida pelas desigualdades e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é perfeito para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A inequação representa a parte superior de um círculo com raio centrado na origem. Mas como temos , estamos olhando apenas para a parte do círculo onde varia entre 1 e .
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo , usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , que é a função que descreve a fronteira superior da nossa região. Os limites de integração são e .
Passo 4
Vamos substituir na fórmula:
Simplificando a express��o dentro do integral:
Então, o integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o integral:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido, não precisamos nos preocupar com .