Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, a equação está na forma:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
Passo 4
Reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui,
e
.
Passo 5
Calculamos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Substituindo
:
Ou seja:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução particular é:
Exercícios relacionados
Determine as equações paramétricas da retas que verificam as condições dadas abaixo:
(a) Passa pela origem e pelo ponto .
(b) Passa pelo ponto e é perpendicular aos vetores
e
.
© Passa pelo ponto e é paralela a reta
.
(a) Passa pela origem e pelo ponto
(b) Passa pelo ponto
© Passa pelo ponto
Considere os vetores
e
ache:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine o comprimento das curvas.
(a) com
(b) com
©
(d) (espiral)
(a)
(b)
©
(d)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pontos
tais que: