x^2 dy/dx = y - x y y(-1) = -1
x y = e^{-(1 + 1 / x)}

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, a equação está na forma:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 4

Reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, e .

Passo 5

Calculamos o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Substituindo :
Ou seja:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução particular é:

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