Calcule o comprimento do gráfico da funçāo dada:
y(x) = (1/3) * (x^2 + 2)^(3/2), 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Para achar o comprimento do gráfico, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Substituindo :

Passo 4

Agora, basta integrar de 0 a 1:

Resposta

O comprimento do gráfico é .

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