Seja um operador linear cujo polinômio característico é
(b) Se é diagonalizável, qual a dimensão de e a de ?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um operador linear com o polinômio característico . A pergunta é: se é diagonalizável, qual é a dimensão dos espaços próprios e ?
Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de polinômios característicos, diagonalização e espaços próprios (ou autovetores). Vamos precisar entender a relação entre as multiplicidades dos autovalores no polinômio característico e as dimensões dos espaços próprios quando o operador é diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se existe uma base de composta apenas por autovetores de . Isso significa que o espaço pode ser “quebrado” em subespaços próprios, cada um associado a um autovalor diferente.

Passo 3

No polinômio característico , os autovalores são os valores de que tornam . Aqui, temos dois autovalores:
  • com multiplicidade algébrica 2.
  • com multiplicidade algébrica 4.
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como fator no polinômio característico.

Passo 4

Quando o operador é diagonalizável, a multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço próprio associado) de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja:
  • Para , a dimensão de é igual a 2.
  • Para , a dimensão de é igual a 4.
Isso ocorre porque, na diagonalização, queremos que haja uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base do espaço .

Resposta

A dimensão de é 2 e a dimensão de é 4.

Exercícios relacionados

Seja matriz cujos autovalores distintos são e .
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de , escreva os possíveis polinômios minimais de A.
Determine condições necessárias e suficientes em e , de modo que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal.
a) paralela à reta que passa pelo ponto ;
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de .