Seja
um operador linear cujo polinômio característico é
(b) Se
é diagonalizável, qual a dimensão de
e a de
?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um operador linear
com o polinômio característico
. A pergunta é: se
é diagonalizável, qual é a dimensão dos espaços próprios
e
?
Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de polinômios característicos, diagonalização e espaços próprios (ou autovetores). Vamos precisar entender a relação entre as multiplicidades dos autovalores no polinômio característico e as dimensões dos espaços próprios quando o operador é diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se existe uma base de
composta apenas por autovetores de
. Isso significa que o espaço
pode ser “quebrado” em subespaços próprios, cada um associado a um autovalor diferente.
Passo 3
No polinômio característico
, os autovalores são os valores de
que tornam
. Aqui, temos dois autovalores:
-
com multiplicidade algébrica 2. -
com multiplicidade algébrica 4.
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como fator no polinômio característico.
Passo 4
Quando o operador
é diagonalizável, a multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço próprio associado) de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja:
- Para
, a dimensão de é igual a 2. - Para
, a dimensão de é igual a 4.
Isso ocorre porque, na diagonalização, queremos que haja uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base do espaço
.
Resposta
A dimensão de
é 2 e a dimensão de
é 4.
Exercícios relacionados
Seja
matriz cujos autovalores distintos são
e
.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de , escreva os possíveis polinômios minimais de A.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de
Determine condições necessárias e suficientes em
e
, de modo que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal.
a)
paralela à reta
que passa pelo ponto
;
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de
.