Seja T: V V um operador linear cujo polinômio característico é
f=(x-4)^2(x+2)^4
(b) Se T é diagonalizável, qual a dimensão de V4 e a de V-2 ?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um operador linear com o polinômio característico . A pergunta é: se é diagonalizável, qual é a dimensão dos espaços próprios e ?
Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com conceitos de polinômios característicos, diagonalização e espaços próprios (ou autovetores). Vamos precisar entender a relação entre as multiplicidades dos autovalores no polinômio característico e as dimensões dos espaços próprios quando o operador é diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se existe uma base de composta apenas por autovetores de . Isso significa que o espaço pode ser “quebrado” em subespaços próprios, cada um associado a um autovalor diferente.

Passo 3

No polinômio característico , os autovalores são os valores de que tornam . Aqui, temos dois autovalores:
  • com multiplicidade algébrica 2.
  • com multiplicidade algébrica 4.
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como fator no polinômio característico.

Passo 4

Quando o operador é diagonalizável, a multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço próprio associado) de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja:
  • Para , a dimensão de é igual a 2.
  • Para , a dimensão de é igual a 4.
Isso ocorre porque, na diagonalização, queremos que haja uma quantidade suficiente de autovetores para formar uma base do espaço .

Resposta

A dimensão de é 2 e a dimensão de é 4.

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