Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
com um produto interno definido por:
Nosso objetivo é verificar se essa função realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, vamos precisar lembrar quais são essas propriedades importantes que um produto interno deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno:
- Simetria:
- Linearidade em cada argumento:
-
- Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Simetria: Vamos ver se
.
Calculando
:
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade: Vamos verificar se o produto interno é linear em cada argumento. Vamos testar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam
e
. Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Então, a linearidade também está satisfeita.
Passo 5
Positividade: Vamos verificar se
para todo
, e se
implica
.
Calculando
:
Como
e
para todo
, temos que
.
Além disso,
implica que
. Como
e
são ambos não negativos, isso só acontece quando
e
, ou seja,
.
Resposta
A função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
. Portanto, sim, é um produto interno em
.