Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(a) .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno definido por:
Nosso objetivo é verificar se essa função realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, vamos precisar lembrar quais são essas propriedades importantes que um produto interno deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno:
Simetria:
Linearidade em cada argumento:
Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Simetria: Vamos ver se .
Calculando :
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade: Vamos verificar se o produto interno é linear em cada argumento. Vamos testar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam e . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Então, a linearidade também está satisfeita.
Passo 5
Positividade: Vamos verificar se para todo , e se implica .
Calculando :
Como e para todo , temos que .
Além disso, implica que . Como e são ambos não negativos, isso só acontece quando e , ou seja, .
Resposta
A função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, sim, é um produto interno em .