Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(a) .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno definido por:
Nosso objetivo é verificar se essa função realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, vamos precisar lembrar quais são essas propriedades importantes que um produto interno deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno:
  1. Simetria:
  2. Linearidade em cada argumento:
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se .
Calculando :
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade: Vamos verificar se o produto interno é linear em cada argumento. Vamos testar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam e . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Então, a linearidade também está satisfeita.

Passo 5

Positividade: Vamos verificar se para todo , e se implica .
Calculando :
Como e para todo , temos que .
Além disso, implica que . Como e são ambos não negativos, isso só acontece quando e , ou seja, .

Resposta

A função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, sim, é um produto interno em .

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Considere a seguinte matriz:
(a) (14 pontos) Encontre a inversa de A, caso exista.
Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
© possua infinitas soluções. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.
Considere os pontos e .
(b) Determine a equação das retas que passam pelos pontos e , e e .
Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações: