Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(a) V=R^2, x=(x1, x2), y=(y1, y2), lang<= x, yrang<==3 x1 y1+2 x2 y2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial lang<= x, y rang<= = 3x1y1 + 2x2y2 com um produto interno definido por:
Nosso objetivo é verificar se essa função realmente satisfaz as propriedades de um produto interno. Para isso, vamos precisar lembrar quais são essas propriedades importantes que um produto interno deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno:
  1. Simetria:
  2. Linearidade em cada argumento:
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se lang<= y, x rang<= = 3y1x1 + 2y2x2 = 3x1y1 + 2x2y2 = lang<= x, y rang<= .
Calculando :
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade: Vamos verificar se o produto interno é linear em cada argumento. Vamos testar a linearidade no primeiro argumento.
Sejam lang<= a x + b z, y rang<= = a lang<= x, y rang<= + b lang<= z, y rang<= e lang<= a x + b z, y rang<= = 3(a x1 + b z1)y1 + 2(a x2 + b z2)y2 = a(3x1 y1 + 2x2 y2) + b(3z1 y1 + 2z2 y2) = a lang<= x, y rang<= + b lang<= z, y rang<= . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Então, a linearidade também está satisfeita.

Passo 5

Positividade: Vamos verificar se lang<= x, x rang<= = 3x1^2 + 2x2^2 para todo , e se implica .
Calculando :
Como e para todo , temos que .
Além disso, implica que . Como e são ambos não negativos, isso só acontece quando e , ou seja, .

Resposta

A função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, sim, é um produto interno em .

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