Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio da função
e fazer um esboço desse domínio. Isso envolve entender para quais valores de
e
essa função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (
e
aqui) para os quais a função está definida. No nosso caso, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada e o denominador não causem problemas, como divisão por zero ou números imaginários.
Passo 3
Vamos olhar para a parte de baixo da fração:
. A raiz quadrada está definida para números não negativos, ou seja,
. Como
e
são sempre positivos ou zero, essa condição está sempre satisfeita para qualquer
e
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o denominador como um todo:
. A gente não pode ter divisão por zero, então precisamos que
. Isso só acontece quando
, ou seja, quando
e
não são ambos zero ao mesmo tempo.
Passo 5
Então, juntando tudo, o domínio da função são todos os pares
no plano cartesiano, exceto o ponto onde
e
. Em outras palavras, o domínio é
menos o ponto
.
Passo 6
Para visualizar isso, vamos fazer um esboço. Imagine o plano
todo, mas vamos tirar o ponto central onde as duas coordenadas são zero. É como se fosse todo o espaço plano, mas com um pequeno “buraco” no meio.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
em
exceto o ponto
. No esboço, representa-se o plano
inteiro com um ponto ausente no centro.
Esboço do Domínio:
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Nota: Imagine o plano cartesiano com todos os pontos preenchidos, exceto o ponto no centro (0,0).