1,0 Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
(a) f(x, y) = 1 / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio da função e fazer um esboço desse domínio. Isso envolve entender para quais valores de e essa função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada ( e aqui) para os quais a função está definida. No nosso caso, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada e o denominador não causem problemas, como divisão por zero ou números imaginários.

Passo 3

Vamos olhar para a parte de baixo da fração: . A raiz quadrada está definida para números não negativos, ou seja, . Como e são sempre positivos ou zero, essa condição está sempre satisfeita para qualquer e .

Passo 4

Agora, vamos considerar o denominador como um todo: . A gente não pode ter divisão por zero, então precisamos que . Isso só acontece quando , ou seja, quando e não são ambos zero ao mesmo tempo.

Passo 5

Então, juntando tudo, o domínio da função são todos os pares no plano cartesiano, exceto o ponto onde e . Em outras palavras, o domínio é menos o ponto .

Passo 6

Para visualizar isso, vamos fazer um esboço. Imagine o plano todo, mas vamos tirar o ponto central onde as duas coordenadas são zero. É como se fosse todo o espaço plano, mas com um pequeno “buraco” no meio.

Resposta

O domínio da função é todos os pares em exceto o ponto . No esboço, representa-se o plano inteiro com um ponto ausente no centro.

Esboço do Domínio:

Esboço do Domínio
Nota: Imagine o plano cartesiano com todos os pontos preenchidos, exceto o ponto no centro (0,0).

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