Utilizando o método de variação dos parâmetros determine a solução geral para a EDO expressa por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de quinta ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Variação dos Parâmetros, que serve para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares. Vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar esse método para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, fazemos uma equação característica substituindo
por
:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (que não temos aqui, então deixamos elas assim mesmo).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original usando o Método de Variação dos Parâmetros. A equação não homogênea é:
Observamos que o lado direito é
. Para encontrar
, assumimos que ela tem a forma:
Onde
são coeficientes a serem determinados, e
é escolhido para garantir que
não seja solução da equação homogênea.
Passo 5
Notamos que
já é uma solução da equação homogênea (presente em
), então precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicação de soluções. Portanto, escolhemos
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias de
e substituir na equação original. Isso envolve derivar cinco vezes
e substituir na equação:
Após calcular as derivadas e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de
aos do lado direito para encontrar os valores de
.
Passo 7
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os coeficientes:
Os demais coeficientes
serão determinados de maneira similar, garantindo que todos os termos se anulem corretamente, exceto o termo desejado
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias e os demais termos são determinados pelos coeficientes encontrados na solução particular.
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(b)
(a)
(a)