Determine o conjunto imagem das funções quadráticas definidas a seguir.
a) f(x) = 3x ^ 2 - 2x - 1
b) g(x) = - 2x ^ 2 + 1
a) f(x) = 3x ^ 2 - 2x - 1
b) g(x) = - 2x ^ 2 + 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o conjunto imagem das funções quadráticas $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $ e $ g(x) = -2x^2 + 1 $. Isso faz parte da matéria de funções quadráticas no pré-cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e como encontrar o valor máximo ou mínimo dessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a função $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $.
- Identificar os coeficientes: Aqui, $ a = 3 $, $ b = -2 $ e $ c = -1 $.
- Determinar a direção da parábola: Como $ a = 3 > 0 $, a parábola abre para cima. Isso significa que ela tem um valor mínimo.
- Encontrar o vértice da parábola: O vértice nos dá o ponto mais baixo da parábola (já que ela abre para cima).
- A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é $ x_v = -\frac{b}{2a} $.
- Substituindo: $ x_v = -\frac{-2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
- Calcular o valor mínimo da função: Substituímos $ x_v $ na função.
- $ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 3 \times \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} $.
- Determinar o conjunto imagem: Já que a parábola abre para cima, o conjunto imagem é todos os valores de $ y $ maiores ou iguais a
.
Então, o conjunto imagem de $ f(x) $ é $ \left[ -\frac{4}{3}, +\infty \right) $.
Passo 3
Agora, vamos para a função $ g(x) = -2x^2 + 1 $.
- Identificar os coeficientes: Aqui, $ a = -2 $, $ b = 0 $ e $ c = 1 $.
- Determinar a direção da parábola: Como $ a = -2 < 0 $, a parábola abre para baixo. Isso significa que ela tem um valor máximo.
- Encontrar o vértice da parábola: O vértice nos dá o ponto mais alto da parábola.
- A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é $ x_v = -\frac{b}{2a} $.
- Substituindo: $ x_v = -\frac{0}{2 \times -2} = 0 $.
- Calcular o valor máximo da função: Substituímos $ x_v $ na função.
- $ g(0) = -2(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 $.
- Determinar o conjunto imagem: Já que a parábola abre para baixo, o conjunto imagem é todos os valores de $ y $ menores ou iguais a $ 1 $.
Então, o conjunto imagem de $ g(x) $ é $ (-\infty, 1] $.
Resposta
a) A imagem de $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $ é $ \left[ -\frac{4}{3}, +\infty \right) $.
b) A imagem de $ g(x) = -2x^2 + 1 $ é $ (-\infty, 1] $.