Determine o conjunto imagem das funções quadráticas definidas a seguir.
a) f(x) = 3x ^ 2 - 2x - 1
b) g(x) = - 2x ^ 2 + 1​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o conjunto imagem das funções quadráticas $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $ e $ g(x) = -2x^2 + 1 $. Isso faz parte da matéria de funções quadráticas no pré-cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e como encontrar o valor máximo ou mínimo dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a função $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $.
  1. Identificar os coeficientes: Aqui, $ a = 3 $, $ b = -2 $ e $ c = -1 $.
  2. Determinar a direção da parábola: Como $ a = 3 > 0 $, a parábola abre para cima. Isso significa que ela tem um valor mínimo.
  3. Encontrar o vértice da parábola: O vértice nos dá o ponto mais baixo da parábola (já que ela abre para cima).
    • A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é $ x_v = -\frac{b}{2a} $.
    • Substituindo: $ x_v = -\frac{-2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
  4. Calcular o valor mínimo da função: Substituímos $ x_v $ na função.
    • $ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 3 \times \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} $.
  5. Determinar o conjunto imagem: Já que a parábola abre para cima, o conjunto imagem é todos os valores de $ y $ maiores ou iguais a f(x) = 3x^2 - 2x - 1 .
Então, o conjunto imagem de $ f(x) $ é $ \left[ -\frac{4}{3}, +\infty \right) $.

Passo 3

Agora, vamos para a função $ g(x) = -2x^2 + 1 $.
  1. Identificar os coeficientes: Aqui, $ a = -2 $, $ b = 0 $ e $ c = 1 $.
  2. Determinar a direção da parábola: Como $ a = -2 < 0 $, a parábola abre para baixo. Isso significa que ela tem um valor máximo.
  3. Encontrar o vértice da parábola: O vértice nos dá o ponto mais alto da parábola.
    • A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é $ x_v = -\frac{b}{2a} $.
    • Substituindo: $ x_v = -\frac{0}{2 \times -2} = 0 $.
  4. Calcular o valor máximo da função: Substituímos $ x_v $ na função.
    • $ g(0) = -2(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 $.
  5. Determinar o conjunto imagem: Já que a parábola abre para baixo, o conjunto imagem é todos os valores de $ y $ menores ou iguais a $ 1 $.
Então, o conjunto imagem de $ g(x) $ é $ (-\infty, 1] $.

Resposta

a) A imagem de $ f(x) = 3x^2 - 2x - 1 $ é $ \left[ -\frac{4}{3}, +\infty \right) $.
b) A imagem de $ g(x) = -2x^2 + 1 $ é $ (-\infty, 1] $.

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