(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
d) em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos de acumulação de no espaço . Aqui, representa os números inteiros e os números racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como eles se comportam em conjuntos como esse dentro do plano .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto em é um ponto de acumulação de um conjunto se, em todo entorno de , ou seja, em qualquer “bolinha” ao redor de , existem pontos de diferentes de . Basicamente, significa que você sempre pode encontrar pontos de próximos a .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em pontos cujas coordenadas x são números inteiros e as coordenadas y são números racionais. Ou seja, cada ponto é da forma , onde e .

Passo 4

Vamos pensar nos possíveis pontos de acumulação. Considerando que os números inteiros são isolados na reta dos números reais, não há pontos inteiros que se “agruparam” um ao outro. Portanto, nos eixos x fixos, não há acumulação entre os inteiros. Porém, os racionais são densos na reta dos números reais, o que significa que entre dois números reais sempre existe um número racional.

Passo 5

Então, para cada inteiro , a linha vertical correspondente onde é real, terá como pontos de acumulação todos os pontos dessa linha, já que os racionais são densos em . Isso porque, para qualquer ponto com , podemos encontrar racionais que se aproximam de , criando uma sequência de pontos em que converge para .

Passo 6

Portanto, os pontos de acumulação de em são todos os pontos cuja coordenada x é um inteiro e a coordenada y é qualquer número real. Em termos matemáticos, isso pode ser representado como:

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de em é .

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Simplifique a fração .
(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
b) ;
Calcule
Calcule