(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto nos números reais . Basicamente, precisamos descobrir quais pontos na reta real são “limites” de pontos racionais dentro do intervalo entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática sobre pontos de acumulação e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de acumulação. Um ponto é chamado de ponto de acumulação de um conjunto se, em qualquer intervalo ao redor de , por menor que seja esse intervalo, sempre existe pelo menos um ponto de diferente de dentro dele. Em termos simples, isso significa que você pode encontrar pontos de cada vez mais próximos de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os números racionais (frações) que estão entre 0 e 1. Sabemos que os números racionais são densos nos reais, ou seja, entre dois números reais qualquer, sempre existe pelo menos um número racional.

Passo 4

Vamos ver quais pontos podem ser pontos de acumulação de :
  1. Dentro do intervalo (0,1): Como os racionais são densos, para qualquer ponto dentro de (0,1), não importa o quão perto você olhe de , sempre vai ter números racionais de próximos. Portanto, todo ponto em (0,1) é um ponto de acumulação de .
  2. Nos extremos 0 e 1: Embora 0 e 1 não estejam incluídos em , podemos considerar se eles são pontos de acumulação. Para 0, podemos selecionar frações cada vez menores positivas que se aproximam de 0. O mesmo vale para 1: podemos escolher frações que se aproximam de 1 a partir de valores menores. Assim, tanto 0 quanto 1 também são pontos de acumulação de .

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de em é o intervalo fechado .

Exercícios relacionados

Seja a sequência de funções definidas por Mostre que para todo , é um polinômio de grau , cujos coeficientes estão em .
Sejam e as superfícies definidas por e , respectivamente.
a) Determine a equação do plano tangente a .
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e em .
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação no ponto .
Simplifique a fração .
(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
d) em .