Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar onde a função
é contínua. A função está definida de duas formas: uma para todo ponto diferente de
e outra especificamente para
. Então, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e entender como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou se tem algum ponto problemático.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função para todos os pontos
que não sejam
. Nesses casos,
. Aqui, o denominador
nunca é zero, a não ser que
e
, que já é o ponto que estamos tratando separadamente. Portanto, para todos os pontos diferentes de
, a função é uma combinação de polinômios e é contínua. Ou seja,
é contínua em todo lugar, exceto possivelmente em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Para calcular o limite, é útil usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Como
se aproxima de 0, todo o termo
também se aproxima de 0, independente do valor de
. Portanto, o limite de
quando
é 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, ou seja, em todo
.