Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas. f(x, y) = { 2x^2y / (3x^2 + 3y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar onde a função é contínua. A função está definida de duas formas: uma para todo ponto diferente de e outra especificamente para . Então, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e entender como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou se tem algum ponto problemático.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para todos os pontos que não sejam . Nesses casos, . Aqui, o denominador nunca é zero, a não ser que e , que já é o ponto que estamos tratando separadamente. Portanto, para todos os pontos diferentes de , a função é uma combinação de polinômios e é contínua. Ou seja, é contínua em todo lugar, exceto possivelmente em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Para calcular o limite, é útil usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Como se aproxima de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independente do valor de . Portanto, o limite de quando é 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, ou seja, em todo .

Exercícios relacionados