Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que tem uma definição diferente para o ponto
e para qualquer outro ponto. Nosso objetivo é estudar se essa função é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Continuar significa que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que aqui é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Substituindo
e
, temos:
Quando
, todo o termo tende a 0, independente de
. Então, o limite é 0, que é igual ao valor da função em
. Portanto,
é cont��nua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais existem se os limites das diferenças divididas existirem.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Então, as derivadas parciais em
existem e são iguais a 0.
Passo 5
Por fim, para verificar a diferenciabilidade, precisamos ver se a função pode ser aproximada linearmente perto de
. Isso significa que:
Substituindo os valores que já temos:
Usando coordenadas polares novamente:
Esse limite depende de
e pode variar entre -1 e 1, não tendendo a 0. Portanto, a função não satisfaz a condição de diferenciabilidade.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.