Estude a diferenciabilidade das funções dadas. f(x, y) = { (x * y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que tem uma definição diferente para o ponto e para qualquer outro ponto. Nosso objetivo é estudar se essa função é diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Continuar significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que aqui é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Substituindo e , temos:
Quando , todo o termo tende a 0, independente de . Então, o limite é 0, que é igual ao valor da função em . Portanto, é cont��nua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais existem se os limites das diferenças divididas existirem.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Então, as derivadas parciais em existem e são iguais a 0.

Passo 5

Por fim, para verificar a diferenciabilidade, precisamos ver se a função pode ser aproximada linearmente perto de . Isso significa que:
Substituindo os valores que já temos:
Usando coordenadas polares novamente:
Esse limite depende de e pode variar entre -1 e 1, não tendendo a 0. Portanto, a função não satisfaz a condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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