Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.
Passo 1
Nessa questão, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Estamos trabalhando com cálculo diferencial multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, precisaremos aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função em diferentes pontos, especialmente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
.
A função dada é:
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente que é:
onde:
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Substituindo na regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, chamada de
.
Usando novamente a regra do quociente:
Onde:
Substituindo na regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Vamos analisar as derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Essa forma é indeterminada, então usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
e para
:
Portanto:
Esse limite não existe, logo
não está definida.
Passo 5
Para
:
Usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que para
:
Então:
Portanto,
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
No ponto
: