Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O nosso exercício pede pra gente descobrir onde a função
é contínua. A matéria envolvida aqui é análise de funções de várias variáveis, especificamente sobre continuidade. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso, principalmente no ponto onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Ela está definida de duas formas:
Isso significa que, para qualquer ponto diferente de
, a função é dada por
, e no ponto
, ela vale 1.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para cada ponto
, precisamos verificar se:
Passo 4
Vamos primeiro analisar onde a função está definida pela expressão
. Essa expressão é uma fração, e o denominador
nunca é zero, exceto no ponto
. Então, para todos os pontos
, o denominador não zera e a função é uma combinação de polinômios, que são funções contínuas. Portanto, a função
é contínua em todos os pontos
.
Passo 5
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Vamos calcular o limite:
Uma maneira de fazer isso é trocar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, a expressão fica:
Quando
, todo esse termo tende a 0, independentemente do valor de
. Então:
Resposta
Como o limite quando
é 0, que é diferente de
, a função
não é contínua no ponto
. Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade da função é todos os pontos
no plano real, exceto
.