Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções a seguir. f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O nosso exercício pede pra gente descobrir onde a função é contínua. A matéria envolvida aqui é análise de funções de várias variáveis, especificamente sobre continuidade. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso, principalmente no ponto onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Ela está definida de duas formas:
Isso significa que, para qualquer ponto diferente de , a função é dada por , e no ponto , ela vale 1.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para cada ponto , precisamos verificar se:

Passo 4

Vamos primeiro analisar onde a função está definida pela expressão . Essa expressão é uma fração, e o denominador nunca é zero, exceto no ponto . Então, para todos os pontos , o denominador não zera e a função é uma combinação de polinômios, que são funções contínuas. Portanto, a função é contínua em todos os pontos .

Passo 5

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos calcular o limite:
Uma maneira de fazer isso é trocar para coordenadas polares, onde e . Assim, a expressão fica:
Quando , todo esse termo tende a 0, independentemente do valor de . Então:

Resposta

Como o limite quando é 0, que é diferente de , a função não é contínua no ponto . Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade da função é todos os pontos no plano real, exceto .

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