Encontre a integral indefinida integral(5x+tg^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais e trigonométricas. Vamos precisar saber como integrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral5x dx + integral tg^2 x , dx
Assim, podemos resolver cada integral de forma individual.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral5x dx = 5 ln|x| .
Sabemos que , onde é a constante de integração. Então, multiplicando por 5:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: tg^2 x = sec^2 x - 1 .
Lembra que integral tg^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) dx = integral sec^2 x , dx - integral 1 , dx é a tangente de . Sabemos de uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Então, vamos substituir na integral:

Passo 5

Agora, resolvemos cada uma dessas integrais:
  • Sabemos que integral tg^2 x , dx = tg x - x .
  • E .
Então:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que integramos:
5 ln|x| + (tg x - x) + C
Onde é a constante de integração que sempre aparece em integrais indefinidas.

Resposta

A integral é igual a .

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