Determine o conjunto de pontos de descontinuidade das seguintes funções. Redefine-as modificando somente esses pontos), se for possível, para que virem contínuas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde as funções dadas são descontínuas e ver se dá pra redefinir esses pontos pra deixar tudo contínuo. Vamos usar conhecimento de funções racionais e limites para isso.
Passo 2
Parte (a): A função é
. Primeiro, vamos ver onde o denominador é zero, porque nesses pontos a função pode não existir.
Passo 3
O denominador
é zero quando:
-
-
→ ou
Então, os pontos potenciais de descontinuidade são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos ver se podemos redefinir a função nesses pontos para torná-la contínua. Para isso, precisamos ver se os limites existem nesses pontos.
Para
:
Esse limite vai para infinito, então não dá pra redefinir nesse ponto.
Para
e
, a função também tende para infinito, já que o denominador se aproxima de zero e o numerador fica diferente de zero.
Passo 5
Parte (b): A função é
. Vamos identificar onde o denominador é zero.
Passo 6
O denominador
é zero quando:
Então, o único ponto potencial de descontinuidade é
.
Passo 7
Vamos verificar se dá pra redefinir a função em
. Calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
Agora, calculando o limite:
Então, podemos definir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Resposta
(a) A função
tem pontos de descontinuidade em
,
e
. Não é possível redefinir a função nesses pontos para torná-la contínua.
(b) A função
tem uma descontinuidade em
. Podemos redefinir
para tornar a função contínua.