Determine o conjunto de pontos de descontinuidade das seguintes funções. Redefine-as modificando somente esses pontos), se for possível, para que virem contínuas:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde as funções dadas são descontínuas e ver se dá pra redefinir esses pontos pra deixar tudo contínuo. Vamos usar conhecimento de funções racionais e limites para isso.
Passo 2
Parte (a): A função é . Primeiro, vamos ver onde o denominador é zero, porque nesses pontos a função pode não existir.
Passo 3
O denominador é zero quando:
→ ou
Então, os pontos potenciais de descontinuidade são , e .
Passo 4
Agora, vamos ver se podemos redefinir a função nesses pontos para torná-la contínua. Para isso, precisamos ver se os limites existem nesses pontos.
Para :
Esse limite vai para infinito, então não dá pra redefinir nesse ponto.
Para e , a função também tende para infinito, já que o denominador se aproxima de zero e o numerador fica diferente de zero.
Passo 5
Parte (b): A função é . Vamos identificar onde o denominador é zero.
Passo 6
O denominador é zero quando:
Então, o único ponto potencial de descontinuidade é .
Passo 7
Vamos verificar se dá pra redefinir a função em . Calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
Agora, calculando o limite:
Então, podemos definir para tornar a função contínua nesse ponto.
Resposta
(a) A função tem pontos de descontinuidade em , e . Não é possível redefinir a função nesses pontos para torná-la contínua.
(b) A função tem uma descontinuidade em . Podemos redefinir para tornar a função contínua.