Resolva os seguintes PVIs: y'' + 2y' + y = 0, y(0) = 2, y'(1) = 2

Passo 1

Vamos resolver o PVI (Problema de Valor Inicial) dado pela equação diferencial com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea . Para resolver essa equação, montamos a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo :

Passo 3

Resolvemos a equação característica . Calculando o discriminante ( ) da equação quadrática:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.

Passo 4

Com , a raiz da equação é:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar usando a segunda condição . Primeiro, calculamos a derivada de :
Derivando em relação a :

Passo 7

Aplicamos a condição :
Isolando :
Isso é impossível, pois é sempre positivo e igual a aproximadamente 0,3679.

Resposta

Não existe solução que satisfaça as condições iniciais dadas e .

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