Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Vamos resolver o PVI (Problema de Valor Inicial) dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea
. Para resolver essa equação, montamos a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo
:
Passo 3
Resolvemos a equação característica
. Calculando o discriminante (
) da equação quadrática:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.
Passo 4
Com
, a raiz da equação é:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
usando a segunda condição
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Aplicamos a condição
:
Isolando
:
Isso é impossível, pois
é sempre positivo e igual a aproximadamente 0,3679.
Resposta
Não existe solução que satisfaça as condições iniciais dadas
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente de
no ponto
.
Determine o conjunto de pontos de descontinuidade das seguintes funções. Redefine-as modificando somente esses pontos), se for possível, para que virem contínuas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Resolva os seguintes PVIs:
Considere a função
definida por
.
. Determine a derivada direcional de f no ponto
segundo o vetor
.