Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime+y & =f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, onde f(t) & =ll 0, & 0 <= t= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = f(t)
com as condições iniciais f(t) = 0, & 0 <= t < pi 1, & pi <= t < 2pi 0, & t >= 2pi e . A função é definida de forma diferente em alguns intervalos de :
Vamos usar métodos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação em cada intervalo de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a solução geral da equação homogênea.

Passo 3

Para resolver r^2 + 1 = 0 Rightarrow r = pm i , encontramos os valores característicos substituindo yh(t) = A cos(t) + B sin(t) :
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos lidar com a parte não homogênea, ou seja, com y'' + y = 0 . Como y'' + y = 1 é uma função por partes, vamos resolver a equação em cada intervalo separadamente.

Intervalo 1: yp(t) = C

Aqui, 0 + C = 1 Rightarrow C = 1 . Então, a equação é homogênea:
y(t) = A cos(t) + B sin(t) + 1
A solução geral já é y'' + y = 0 .

Intervalo 2: y(t) = A cos(t) + B sin(t)

Aqui, . Precisamos encontrar uma solução particular para a equação:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante:
Substituindo na equação:
Então, a solução geral nesse intervalo é:

Intervalo 3:

Aqui, novamente, então a equação é homogênea:
A solução é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais e garantir que a solução seja contínua e diferenciável nos pontos de transição y(0) = 0 Rightarrow A cos(0) + B sin(0) = A = 0 e y'(0) = 1 Rightarrow -A sin(0) + B cos(0) = B = 1 .

Condições Iniciais:

Para y(t) = 0 cdot cos(t) + 1 cdot sin(t) = sin(t) :
y(pi^-) = sin(pi) = 0
y(pi^+) = A cos(pi) + B sin(pi) + 1 = -A + 0 + 1 = 1 - A
Então, para 0 = 1 - A Rightarrow A = 1 :
y'(pi^-) = cos(pi) = -1

Continuidade em y'(pi^+) = -A sin(pi) + B cos(pi) = 0 - B = -B :

Calculamos -1 = -B Rightarrow B = 1 e y(t) = cos(t) + sin(t) + 1 :
y(2pi^-) = cos(2pi) + sin(2pi) + 1 = 1 + 0 + 1 = 2
y(2pi^+) = A cos(2pi) + B sin(2pi) = A cdot 1 + B cdot 0 = A
Igualando:
2 = A Rightarrow A = 2
Para a derivada:
y'(2pi^-) = -sin(2pi) + cos(2pi) = 0 + 1 = 1
y'(2pi^+) = -A sin(2pi) + B cos(2pi) = 0 + B cdot 1 = B
Igualando:
1 = B Rightarrow B = 1
Então, para y(t) = 2 cos(t) + sin(t) :

Continuidade em :

Calculamos e :
Igualando:
Para a derivada:
Igualando:
Então, para :

Resposta

A solução completa do problema é:
y(t) = sin(t), & 0 <= t < pi cos(t) + sin(t) + 1, & pi <= t < 2pi 2 cos(t) + sin(t), & t >= 2pi

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