Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = f(t)
com as condições iniciais f(t) = 0, & 0 <= t < pi 1, & pi <= t < 2pi 0, & t >= 2pi e . A função é definida de forma diferente em alguns intervalos de :
Vamos usar métodos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação em cada intervalo de .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a solução geral da equação homogênea.
Passo 3
Para resolver r^2 + 1 = 0 Rightarrow r = pm i , encontramos os valores característicos substituindo yh(t) = A cos(t) + B sin(t) :
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos lidar com a parte não homogênea, ou seja, com y'' + y = 0 . Como y'' + y = 1 é uma função por partes, vamos resolver a equação em cada intervalo separadamente.
Intervalo 1: yp(t) = C
Aqui, 0 + C = 1 Rightarrow C = 1 . Então, a equação é homogênea:
y(t) = A cos(t) + B sin(t) + 1
A solução geral já é y'' + y = 0 .
Intervalo 2: y(t) = A cos(t) + B sin(t)
Aqui, . Precisamos encontrar uma solução particular para a equação:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante:
Substituindo na equação:
Então, a solução geral nesse intervalo é:
Intervalo 3:
Aqui, novamente, então a equação é homogênea:
A solução é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais e garantir que a solução seja contínua e diferenciável nos pontos de transição y(0) = 0 Rightarrow A cos(0) + B sin(0) = A = 0 e y'(0) = 1 Rightarrow -A sin(0) + B cos(0) = B = 1 .