Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todos os pontos no domínio da função onde ela é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, analisando cada parte da função definida por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função . A função está definida para todo valor de , já que nas duas primeiras partes, mesmo quando o denominador seria zero em , a função está especificamente definida como 5 nesse ponto. Portanto, o domínio de é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em cada intervalo definido pela função.
Para :
A função é . A função seno é contínua para todos os números reais, e somar 5 não altera essa propriedade. Portanto, é contínua para .
Passo 4
Para x^2 + x - 6x - 2 = (x - 2)(x + 3)x - 2 = x + 3 (para x neq 2) :
A função é . Podemos simplificar essa expressão:
A função é uma função polinomial, que é contínua para todos os números reais. Assim, é contínua para .
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 2^- (x + 3) = 5 . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função em limx to 2^+ sin(x^2 - 4) + 5 = sin(0) + 5 = 5 .
Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Como ambos os limites são iguais a 5, e , a função é contínua em .
Resposta
A função é contínua para todos os valores de reais, ou seja, em todo o seu domínio.