Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
(a) lim x 0 sen(2 x)2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite usando o primeiro limite fundamental. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de limites em cálculo, especificamente o limite fundamental que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar esse limite fundamental e utilizar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

O primeiro limite fundamental que vamos usar é:
limx 0 sin(x)x = 1
Esse limite é muito importante porque nos diz que, à medida que se aproxima de 0, a razão entre e se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos adaptar esse limite para a nossa expressão sin(2x)2x = sin(2x)2x times 22 = 2 sin(2x)4x = sin(2x)2x . Note que temos no numerador e no denominador. Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
Mas, para facilitar a aplicação do limite fundamental, vamos fatorar o 2 que está dentro da função seno.

Passo 4

Vamos fazer a substituição limx 0 sin(2x)2x = limu 0 sin(u)u . Quando , também. Então, podemos reescrever o limite em termos de :
Isso porque , e no denominador ajusta-se com o no numerador.

Passo 5

Agora, aplicando o primeiro limite fundamental:
limu 0 sin(u)u = 1
Portanto,
limx 0 sin(2x)2x = 1

Resposta

limx 0 sin(2x)2x = 1

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