Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
usando o primeiro limite fundamental. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de limites em cálculo, especificamente o limite fundamental que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar esse limite fundamental e utilizar propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
O primeiro limite fundamental que vamos usar é:
Esse limite é muito importante porque nos diz que, à medida que
se aproxima de 0, a razão entre
e
se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, vamos adaptar esse limite para a nossa expressão
. Note que temos
no numerador e
no denominador. Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
Mas, para facilitar a aplicação do limite fundamental, vamos fatorar o 2 que está dentro da função seno.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Quando
,
também. Então, podemos reescrever o limite em termos de
:
Isso porque
, e
no denominador ajusta-se com o
no numerador.
Passo 5
Agora, aplicando o primeiro limite fundamental:
Portanto,
Resposta
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Seja
a função definida por:
Faça um esboço do gráfico de
.
Determine:
Determine:
Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função
é contínua, justificando sua resposta.