Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
b) f(x, y) = x^y / (x^2 + y^2), se (x, y) != (0, 0) e f(0,0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função é diferenciável, com a condição especial de que . A matéria aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a ideia de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar isso tanto no ponto quanto nos outros pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se as suas derivadas parciais existem e se a função pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Basicamente, se a função tem uma “boa” aproximação linear perto do ponto, ela é diferenciável ali.

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto . Para verificar a diferenciabilidade aqui, precisamos checar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.
Calculando as derivadas parciais em :
Vamos calcular :
Então,
Como a derivada parcial não existe (tende ao infinito), a função não é diferenciável em .

Passo 4

Agora, vamos analisar os pontos onde . Nessas regiões, a função está bem definida, desde que . Para esses pontos, as funções envolvidas (potência, divisão, soma) são diferenciáveis, exceto possivelmente onde o denominador é zero, que é exatamente o ponto que já analisamos.

Passo 5

Portanto, em todos os outros pontos diferentes de , a função é diferenciável, pois é composta por operações diferenciáveis e o denominador não se anula.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

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