Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
b)
, se
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função
é diferenciável, com a condição especial de que
. A matéria aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a ideia de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar isso tanto no ponto
quanto nos outros pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função
é diferenciável em um ponto se as suas derivadas parciais existem e se a função pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Basicamente, se a função tem uma “boa” aproximação linear perto do ponto, ela é diferenciável ali.
Passo 3
Vamos começar analisando o ponto
. Para verificar a diferenciabilidade aqui, precisamos checar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.
Calculando as derivadas parciais em
:
Vamos calcular
:
Então,
Como a derivada parcial
não existe (tende ao infinito), a função
não é diferenciável em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os pontos onde
. Nessas regiões, a função
está bem definida, desde que
. Para esses pontos, as funções envolvidas (potência, divisão, soma) são diferenciáveis, exceto possivelmente onde o denominador é zero, que é exatamente o ponto
que já analisamos.
Passo 5
Portanto, em todos os outros pontos
diferentes de
, a função
é diferenciável, pois é composta por operações diferenciáveis e o denominador não se anula.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
do plano, exceto no ponto
.