As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a função
é diferenciável. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade e verificar se a função atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nosso trabalho. Sabemos que
pode ser reescrita como
usando as propriedades dos logaritmos. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, para que a função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter todas as derivadas parciais existentes e contínuas ao redor desse ponto. Vamos analisar a continuidade da função.
Passo 4
A função
está definida quando
, ou seja, em todos os pontos exceto no ponto
. Portanto, a função
é contínua em todo lugar menos em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar as derivadas parciais de
. Calculando as derivadas em relação a
e
:
Passo 6
Essas derivadas parciais existem em todos os pontos onde
, ou seja, em todo lugar menos em
. Além disso, elas são contínuas onde estão definidas.
Passo 7
Concluindo, a função
é diferenciável em todos os pontos onde
, ou seja, em todo lugar exceto no ponto
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos exceto em
.