As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
b) f(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a função é diferenciável. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade e verificar se a função atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nosso trabalho. Sabemos que pode ser reescrita como usando as propriedades dos logaritmos. Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, para que a função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter todas as derivadas parciais existentes e contínuas ao redor desse ponto. Vamos analisar a continuidade da função.

Passo 4

A função está definida quando , ou seja, em todos os pontos exceto no ponto . Portanto, a função é contínua em todo lugar menos em .

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de . Calculando as derivadas em relação a e :

Passo 6

Essas derivadas parciais existem em todos os pontos onde , ou seja, em todo lugar menos em . Além disso, elas são contínuas onde estão definidas.

Passo 7

Concluindo, a função é diferenciável em todos os pontos onde , ou seja, em todo lugar exceto no ponto .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos exceto em .

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