Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique com detalhes.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e entender como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Para que uma função de duas variáveis seja diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas nesse ponto. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se elas são contínuas em todos os pontos do domínio da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que as derivadas parciais
e
existem para todos os valores de
e
, pois são expressões compostas por funções trigonométricas e polinomiais que são contínuas em todo o plano.
Passo 6
Além disso, as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos, já que a função
é contínua e multiplicada por polinômios que também são contínuos. Não há nenhum ponto onde essas derivadas deixem de existir ou apresentem descontinuidades.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano
.