Determine se as funções
dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
Passo 1
O exercício pede para determinar se a função
é contínua em seu domínio. Vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e analisar cada caso da função para verificar essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, observamos a definição da função:
Para estudar a continuidade, precisamos verificar se não há pontos de descontinuidade, ou seja, se o limite da função quando
se aproxima de qualquer ponto do domínio é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos analisar os dois casos da função:
-
Quando
: A expressão é uma função composta por operações contínuas (absoluto, divisão, exponencial), desde que o denominador não seja zero. -
Quando
: A função é definida como zero.
Passo 4
Focando no caso onde
, precisamos verificar se o limite da função quando
se aproxima de
é igual a
.
Vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão da função para
fica:
Passo 5
Agora, analisamos o limite quando
se aproxima de
:
Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
é zero, que é exatamente o valor de
.
Passo 6
Como o limite da função quando
se aproxima de qualquer ponto onde
coincide com o valor definido da função nesse ponto, e fora dessa condição a função é composta por operações contínuas, podemos concluir que a função
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.