Determine se as funções f dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
f(x, y) = { e^(-|x-y| / (x^2 - 2xy + y^2)), se x ≠ y; 0, se x = y }

Passo 1

O exercício pede para determinar se a função é contínua em seu domínio. Vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e analisar cada caso da função para verificar essa continuidade.

Passo 2

Primeiro, observamos a definição da função:
Para estudar a continuidade, precisamos verificar se não há pontos de descontinuidade, ou seja, se o limite da função quando se aproxima de qualquer ponto do domínio é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos analisar os dois casos da função:
  1. Quando : A expressão é uma função composta por operações contínuas (absoluto, divisão, exponencial), desde que o denominador não seja zero.
  2. Quando : A função é definida como zero.

Passo 4

Focando no caso onde , precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual a .
Vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão da função para fica:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando se aproxima de :
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de é zero, que é exatamente o valor de .

Passo 6

Como o limite da função quando se aproxima de qualquer ponto onde coincide com o valor definido da função nesse ponto, e fora dessa condição a função é composta por operações contínuas, podemos concluir que a função é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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