Determine a dimensão dos seguintes subespaços de : (O subespaço das matrizes simétricas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão do conjunto das matrizes simétricas com entradas reais. Isso é um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como calcular a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição .

Passo 3

Agora, considerando uma matriz , que é uma matriz com entradas reais, vamos escrever a matriz geral:

Passo 4

Como é simétrica, temos que . Isso significa que:

[


]

Passo 5

Igualando as posições correspondentes das matrizes, temos as seguintes equações:

Passo 6

Isso nos mostra que, numa matriz simétrica, alguns elementos são iguais. Portanto, a matriz simétrica geral fica assim:

Passo 7

Vimos que temos 6 variáveis independentes: . Cada uma dessas pode ser escolhida livremente, e os demais elementos são determinados por elas.

Passo 8

A dimensão do subespaço das matrizes simétricas é igual ao número de variáveis livres, que nesse caso são 6. Portanto, a dimensão de é 6.

Resposta

A dimensão do subespaço das matrizes simétricas em é 6.

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto gera o espaço vetorial . Se gerar, escreva u como uma combinação linear dos vetores em .
Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Sejam e vértices de um triângulo.
a) Para que valor de o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
d) Mostrar que .
Seja um conjunto LI. Qual deve ser o valor de para que o conjunto seja LD?
a) -2
b) -6
c) 0
d) 2
e) 6