Determine a dimensão dos seguintes subespaços de : (O subespaço das matrizes simétricas)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão do conjunto das matrizes simétricas com entradas reais. Isso é um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como calcular a dimensão de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição .
Passo 3
Agora, considerando uma matriz , que é uma matriz com entradas reais, vamos escrever a matriz geral:
Passo 4
Como é simétrica, temos que . Isso significa que:
[
]
Passo 5
Igualando as posições correspondentes das matrizes, temos as seguintes equações:
Passo 6
Isso nos mostra que, numa matriz simétrica, alguns elementos são iguais. Portanto, a matriz simétrica geral fica assim:
Passo 7
Vimos que temos 6 variáveis independentes: . Cada uma dessas pode ser escolhida livremente, e os demais elementos são determinados por elas.
Passo 8
A dimensão do subespaço das matrizes simétricas é igual ao número de variáveis livres, que nesse caso são 6. Portanto, a dimensão de é 6.
Resposta
A dimensão do subespaço das matrizes simétricas em é 6.