Determine a dimensão dos seguintes subespaços de M3(R) : S=A in M3(R) / A=A^T (O subespaço das matrizes simétricas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão do conjunto das matrizes simétricas com entradas reais. Isso é um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como calcular a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição .

Passo 3

Agora, considerando uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i , que é uma matriz com entradas reais, vamos escrever a matriz geral:

Passo 4

Como a & b & c d & e & f g & h & i = a & d & g b & e & h c & f & i é simétrica, temos que . Isso significa que:

[


]

Passo 5

Igualando as posições correspondentes das matrizes, temos as seguintes equações:
d = b, g = c, h = f

Passo 6

Isso nos mostra que, numa matriz simétrica, alguns elementos são iguais. Portanto, a matriz simétrica geral fica assim:
A = a & b & c b & e & f c & f & i

Passo 7

Vimos que temos 6 variáveis independentes: . Cada uma dessas pode ser escolhida livremente, e os demais elementos são determinados por elas.

Passo 8

A dimensão do subespaço das matrizes simétricas é igual ao número de variáveis livres, que nesse caso são 6. Portanto, a dimensão de é 6.

Resposta

A dimensão do subespaço das matrizes simétricas em é 6.

Exercícios relacionados