Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x+y-w & =1 x-y+z & =1 x-y+w & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para a gente encontrar todas as possíveis soluções para o seguinte sistema linear:
x + y - w = 1 x - y + z = 1 x - y + w = 1
Aqui, estamos lidando com um sistema de equações lineares que envolve as variáveis , , e . Para resolver, vamos usar métodos de eliminação, que nos ajudam a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
  1.     (Equação 1)
  2.     (Equação 2)
  3.     (Equação 3)
Nosso objetivo é eliminar variáveis para reduzir o sistema a equações mais simples.

Passo 3

Vamos começar subtraindo a Equação 2 da Equação 3. Isso vai ajudar a eliminar algumas variáveis:
Equação 3 - Equação 2: çãçã
(x - y + w) - (x - y + z) = 1 - 1
w - z = 0 Rightarrow w = z
Então, descobrimos que é igual a .

Passo 4

Agora, vamos usar essa informação na Equação 1. Sabemos que x + y - z = 1 (Substituindo w por z) , então substituímos por na Equação 1:
Agora, temos:
  1.     (Nova Equação 1)
  2.     (Equação 2)
  3.     (Da Passo 3)

Passo 5

Vamos somar a Nova Equação 1 e a Equação 2 para eliminar a variável (x + y - z) + (x - y + z) = 1 + 1 :
2x = 2 Rightarrow x = 1
Descobrimos que .

Passo 6

Com 1 - y + z = 1 , vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar -y + z = 0 Rightarrow z = y e :
Então, é igual a .

Passo 7

Agora, sabemos que w = y (do Passo 3) e (do Passo 6). Portanto:

Passo 8

Vamos resumir o que já descobrimos:
  • 1 + y - z = 1
  • 1 + y - y = 1 Rightarrow 1 = 1
Agora, substituímos e na Nova Equação 1 para encontrar :
Isso nos mostra que não há restrição adicional para , ou seja, pode ser qualquer número real.

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por:
x = 1 y livre z = y w = y
Em outras palavras, para qualquer valor de , as soluções são , e .

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