Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para a gente encontrar todas as possíveis soluções para o seguinte sistema linear:
x + y - w = 1 x - y + z = 1 x - y + w = 1
Aqui, estamos lidando com um sistema de equações lineares que envolve as variáveis , , e . Para resolver, vamos usar métodos de eliminação, que nos ajudam a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Nosso objetivo é eliminar variáveis para reduzir o sistema a equações mais simples.
Passo 3
Vamos começar subtraindo a Equação 2 da Equação 3. Isso vai ajudar a eliminar algumas variáveis:
Equação 3 - Equação 2: çãçã
(x - y + w) - (x - y + z) = 1 - 1
w - z = 0 Rightarrow w = z
Então, descobrimos que é igual a .
Passo 4
Agora, vamos usar essa informação na Equação 1. Sabemos que x + y - z = 1 (Substituindo w por z) , então substituímos por na Equação 1:
Agora, temos:
(Nova Equação 1)
(Equação 2)
(Da Passo 3)
Passo 5
Vamos somar a Nova Equação 1 e a Equação 2 para eliminar a variável (x + y - z) + (x - y + z) = 1 + 1 :
2x = 2 Rightarrow x = 1
Descobrimos que .
Passo 6
Com 1 - y + z = 1 , vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar -y + z = 0 Rightarrow z = y e :
Então, é igual a .
Passo 7
Agora, sabemos que w = y (do Passo 3) e (do Passo 6). Portanto:
Passo 8
Vamos resumir o que já descobrimos:
1 + y - z = 1
1 + y - y = 1 Rightarrow 1 = 1
Agora, substituímos e na Nova Equação 1 para encontrar :
Isso nos mostra que não há restrição adicional para , ou seja, pode ser qualquer número real.
Resposta
O conjunto solução do sistema é dado por:
x = 1 y livre z = y w = y
Em outras palavras, para qualquer valor de , as soluções são , e .