Se uma função em é combinação linear de outras então suas derivadas sucessivas são combinações lineares (com os mesmos coeficientes) das derivadas dessas outras. Use este fato para mostrar que é um conjunto L.I
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto é linearmente independente. Para isso, vamos usar a ideia de que se uma função é uma combinação linear de outras, então suas derivadas também são combinações lineares das derivadas dessas funções, mantendo os mesmos coeficientes. Vamos precisar entender conceitos de combinações lineares, independência linear e como as derivadas se comportam nessas combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se para todo , então temos que .
Passo 3
Agora, vamos supor que temos uma combinação linear que resulta em zero:
Queremos provar que todos os coeficientes são zero. Para isso, vamos derivar essa equação várias vezes e usar a propriedade mencionada no enunciado.
Passo 4
Vamos derivar a equação original uma vez:
Isso nos dá uma nova equação. A ideia é repetir esse processo até termos um sistema de equações que possamos resolver para os coeficientes.
Passo 5
Derivando novamente:
E mais uma derivação:
E mais uma vez:
Por último, derivando uma quinta vez:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema começando das últimas equações.
Passo 7
Da equação 5:
E da equação 6:
Subtraindo a equação 5 da 6:
Como nunca é zero, isso implica que . Substituindo na equação 5:
Novamente, nunca é zero, então .
Passo 8
Agora que sabemos que , voltamos para a equação 4:
Substituindo na equação 3:
E finalmente, substituindo na equação 2:
Resposta
Conseguimos mostrar que , logo, o conjunto é linearmente independente.