Se uma função em C^infty(R) é combinação linear de outras então suas derivadas sucessivas são combinações lineares (com os mesmos coeficientes) das derivadas dessas outras. Use este fato para mostrar que e^x, e^2 x, x^3, x^2, x é um conjunto L.I

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto e^x, e^2 x, x^3, x^2, x é linearmente independente. Para isso, vamos usar a ideia de que se uma função é uma combinação linear de outras, então suas derivadas também são combinações lineares das derivadas dessas funções, mantendo os mesmos coeficientes. Vamos precisar entender conceitos de combinações lineares, independência linear e como as derivadas se comportam nessas combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a1 e^x + a2 e^2x + a3 x^3 + a4 x^2 + a5 x = 0 para todo x, então temos que a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos uma combinação linear que resulta em zero:
a1 e^x + a2 e^2x + a3 x^3 + a4 x^2 + a5 x = 0
Queremos provar que todos os coeficientes a1, a2, a3, a4, a5 são zero. Para isso, vamos derivar essa equação várias vezes e usar a propriedade mencionada no enunciado.

Passo 4

Vamos derivar a equação original uma vez:
a1 e^x + 2 a2 e^2x + 3 a3 x^2 + 2 a4 x + a5 = 0
Isso nos dá uma nova equação. A ideia é repetir esse processo até termos um sistema de equações que possamos resolver para os coeficientes.

Passo 5

Derivando novamente:
a1 e^x + 4 a2 e^2x + 6 a3 x + 2 a4 = 0
E mais uma derivação:
a1 e^x + 8 a2 e^2x + 6 a3 = 0
E mais uma vez:
a1 e^x + 16 a2 e^2x = 0
Por último, derivando uma quinta vez:
a1 e^x + 32 a2 e^2x = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
  1. a1 e^x + a2 e^2x + a3 x^3 + a4 x^2 + a5 x = 0
  2. a1 e^x + 2 a2 e^2x + 3 a3 x^2 + 2 a4 x + a5 = 0
  3. a1 e^x + 4 a2 e^2x + 6 a3 x + 2 a4 = 0
  4. a1 e^x + 8 a2 e^2x + 6 a3 = 0
  5. a1 e^x + 16 a2 e^2x = 0
  6. a1 e^x + 32 a2 e^2x = 0
Vamos resolver esse sistema começando das últimas equações.

Passo 7

Da equação 5:
a1 e^x + 16 a2 e^2x = 0
E da equação 6:
a1 e^x + 32 a2 e^2x = 0
Subtraindo a equação 5 da 6:
(a1 e^x + 32 a2 e^2x) - (a1 e^x + 16 a2 e^2x) = 0 16 a2 e^2x = 0
Como e^2x nunca é zero, isso implica que a2 = 0. Substituindo a2 = 0 na equação 5:
a1 e^x = 0
Novamente, e^x nunca é zero, então a1 = 0.

Passo 8

Agora que sabemos que a1 = a2 = 0, voltamos para a equação 4:
0 + 0 + 6 a3 = 0 a3 = 0
Substituindo a3 = 0 na equação 3:
0 + 0 + 0 + 2 a4 = 0 a4 = 0
E finalmente, substituindo a4 = 0 na equação 2:
0 + 0 + 0 + 0 + a5 = 0 a5 = 0

Resposta

Conseguimos mostrar que a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0, logo, o conjunto e^x, e^2 x, x^3, x^2, x é linearmente independente.

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