Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá cinco equações com quatro variáveis: , , e . Vamos usar os métodos de eliminação e eliminação total para encontrar os valores dessas variáveis. Basicamente, vamos combinar as equações para ir eliminando variáveis até descobrir o valor de cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações para facilitar:
1) x + y = 1 2) y + z = 1 3) z + w = 1 4) w + x = 1 5) x + y + z + w = 2
Passo 3
Vamos observar que as equações 1 a 4 são semelhantes. Podemos adicionar todas elas para tentar simplificar:
Olha só, essa última equação é exatamente a equação 5! Isso significa que todas as equações que temos são consistentes, mas não nos dão informação nova. Precisamos encontrar outra maneira de isolar as variáveis.
Passo 5
Vamos resolver a partir da equação 1:
x + y = 1 Rightarrow x = 1 - y
Passo 6
Agora, substituímos w + x = 1 Rightarrow w + (1 - y) = 1 na equação 4:
w = y
Passo 7
Substituímos z + w = 1 Rightarrow z + y = 1 Rightarrow z = 1 - y na equação 3:
Passo 8
Agora, substituímos y + z = 1 Rightarrow y + (1 - y) = 1 Rightarrow 1 = 1 e na equação 2:
Isso confirma que nossas substituições estão corretas, mas não nos dá um valor específico para .
Passo 9
Vamos agora substituir todas as expressões em termos de x + y + z + w = 2 Rightarrow (1 - y) + y + (1 - y) + y = 2 na equação 5:
1 - y + y + 1 - y + y = 2
2 = 2
Isso também confirma que tudo está consistente, mas ainda não encontramos um valor para . Isso significa que o sistema tem infinitas soluções onde pode ser qualquer número real.
Resposta
O conjunto solução do sistema é todos os quadruplos x = 1 - y, z = 1 - y, w = y onde: