Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x+y & =1 y+z & =1 z+w & =1 w+x & =1 x+y+z+w & =2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá cinco equações com quatro variáveis: , , e . Vamos usar os métodos de eliminação e eliminação total para encontrar os valores dessas variáveis. Basicamente, vamos combinar as equações para ir eliminando variáveis até descobrir o valor de cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações para facilitar:
1) x + y = 1 2) y + z = 1 3) z + w = 1 4) w + x = 1 5) x + y + z + w = 2

Passo 3

Vamos observar que as equações 1 a 4 são semelhantes. Podemos adicionar todas elas para tentar simplificar:
(x + y) + (y + z) + (z + w) + (w + x) = 1 + 1 + 1 + 1
2x + 2y + 2z + 2w = 4
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
x + y + z + w = 2

Passo 4

Olha só, essa última equação é exatamente a equação 5! Isso significa que todas as equações que temos são consistentes, mas não nos dão informação nova. Precisamos encontrar outra maneira de isolar as variáveis.

Passo 5

Vamos resolver a partir da equação 1:
x + y = 1 Rightarrow x = 1 - y

Passo 6

Agora, substituímos w + x = 1 Rightarrow w + (1 - y) = 1 na equação 4:
w = y

Passo 7

Substituímos z + w = 1 Rightarrow z + y = 1 Rightarrow z = 1 - y na equação 3:

Passo 8

Agora, substituímos y + z = 1 Rightarrow y + (1 - y) = 1 Rightarrow 1 = 1 e na equação 2:
Isso confirma que nossas substituições estão corretas, mas não nos dá um valor específico para .

Passo 9

Vamos agora substituir todas as expressões em termos de x + y + z + w = 2 Rightarrow (1 - y) + y + (1 - y) + y = 2 na equação 5:
1 - y + y + 1 - y + y = 2
2 = 2
Isso também confirma que tudo está consistente, mas ainda não encontramos um valor para . Isso significa que o sistema tem infinitas soluções onde pode ser qualquer número real.

Resposta

O conjunto solução do sistema é todos os quadruplos x = 1 - y, z = 1 - y, w = y onde:
, (1 - y, y, 1 - y, y) mid y in R ,
Para qualquer valor real de . Ou seja,

Exercícios relacionados

Se uma função em C^infty(R) é combinação linear de outras então suas derivadas sucessivas são combinações lineares (com os mesmos coeficientes) das derivadas dessas outras. Use este fato para mostrar que e^x, e^2 x, x^3, x^2, x é um conjunto L.I
Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x+y-w & =1 x-y+z & =1 x-y+w & =1
Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x+y & =2 y+z & =0 z+w & =2 w+x & =0 x+y+z+w & =4
Seja E=F1 oplus F2. Se B1 é uma base de F1 e B2 é uma base de F2, prove que B1 cup B2 é uma base de E.