Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
x+y & =2 y+z & =0 z+w & =2 w+x & =0 x+y+z+w & =4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as cinco equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar os métodos de eliminação e eliminação total, que basicamente ajudam a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções ou descobrir se não há nenhuma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever todas as equações para visualizar melhor:
x + y = 2 (1) y + z = 0 (2) z + w = 2 (3) w + x = 0 (4) x + y + z + w = 4 (5)

Passo 3

Vamos começar isolando uma variável. A equação (2) é simples de resolver para y + z = 0 implies y = -z :
Isso significa que o valor de depende diretamente de .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (1) para expressar x + y = 2 implies x = 2 - y em termos de x = 2 - (-z) = 2 + z :
Mas já sabemos que , então substituindo:
Então, também est�� relacionado com .

Passo 5

Vamos para a equação (3) e resolver para z + w = 2 implies w = 2 - z :
Agora, temos em termos de .

Passo 6

Usando a equação (4), vamos relacionar w + x = 0 implies w = -x e w = -(2 + z) = -2 - z :
Mas já sabemos que , então substituindo:
Agora, temos duas expressões para :
  1. (da equação 3)
  2. (da equação 4)

Passo 7

Vamos igualar as duas expressões para 2 - z = -2 - z :
2 = -2
Simplificando:
Isso é impossível! Significa que chegamos a uma contradição.

Passo 8

Como obtivemos uma afirmação impossível ( ), isso indica que o sistema de equações não tem solução. Em outras palavras, não existe nenhum conjunto de valores para , , e que satisfaça todas as cinco equações ao mesmo tempo.

Resposta

O sistema não possui solução; não existe nenhum conjunto de valores reais que satisfaça todas as equações simultaneamente.

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