Quais as coordenadas de (0,1,0) em relação à base
beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Basicamente, isso significa que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que compõem a base . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, a gente escreve a combinação linear:
(0,1,0) = c1(1,1,1) + c2(-1,1,0) + c3(1,0,-1)
Aqui, , e são os coeficientes que queremos encontrar. Nosso objetivo é descobrir quais valores desses coeficientes fazem essa igualdade ser verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso significa que vamos igualar as coordenadas de cada posição:
c1(1) + c2(-1) + c3(1) = 0 c1(1) + c2(1) + c3(0) = 1 c1(1) + c2(0) + c3(-1) = 0
Simplificando, temos:
c1 - c2 + c3 = 0 c1 + c2 = 1 c1 - c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação, c1 - c2 + c1 = 0 Rightarrow 2c1 - c2 = 0 Rightarrow c2 = 2c1 . Podemos substituir c1 + 2c1 = 1 Rightarrow 3c1 = 1 Rightarrow c1 = 13 por na primeira equação:
Agora, usamos a segunda equação e substituímos :

Passo 5

Com c2 = 2c1 = 2 times 13 = 23 , podemos encontrar c3 = 13 e :
E como :

Resposta

As coordenadas de em relação à base são .

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