Seja
o subespaço vetorial(plano) de
formado pelos vetores
tais que
. Obtenha uma base
tal que
e
pertençam a
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos trabalhar com subespaços vetoriais. O problema nos pede para encontrar uma base para o espaço
de tal forma que dois dos vetores dessa base pertençam a um subespaço
. Esse subespaço
é definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que pertencem a esse subespaço e como complementar para formar uma base completa de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço
. Ele é formado por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Isso significa que qualquer vetor nesse subespaço vai seguir essa relação entre suas componentes.
Para encontrar uma base para
, precisamos de dois vetores que estejam dentro de
e que sejam linearmente independentes. Vamos encontrar esses vetores escolhendo valores para duas das variáveis e resolvendo para a terceira.
Escolha 1:
Vamos deixar e
. Substituindo na equação:
Vamos deixar
Então, temos o vetor
.
Escolha 2:
Agora, vamos deixar e
. Substituindo na equação:
Agora, vamos deixar
Assim, temos o vetor
.
Esses dois vetores
e
pertencem ao subespaço
e são linearmente independentes, então eles formam uma base para
.
Passo 3
Agora, precisamos completar a base para
adicionando um terceiro vetor
que não pertença a
. Para garantir isso, vamos escolher um vetor que não satisfaça a equação
.
Vamos escolher, por exemplo,
. Vamos verificar se ele está ou não em
:
Como
, o vetor
não pertence a
.
Resposta
Uma base para
com
e
pertencentes a
é: