Seja o subespaço vetorial(plano) de formado pelos vetores tais que . Obtenha uma base tal que e pertençam a .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos trabalhar com subespaços vetoriais. O problema nos pede para encontrar uma base para o espaço de tal forma que dois dos vetores dessa base pertençam a um subespaço . Esse subespaço é definido por todos os vetores que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que pertencem a esse subespaço e como complementar para formar uma base completa de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço . Ele é formado por todos os vetores que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor nesse subespaço vai seguir essa relação entre suas componentes.
Para encontrar uma base para , precisamos de dois vetores que estejam dentro de e que sejam linearmente independentes. Vamos encontrar esses vetores escolhendo valores para duas das variáveis e resolvendo para a terceira.
Escolha 1:
Vamos deixar e . Substituindo na equação:
Então, temos o vetor .
Escolha 2:
Agora, vamos deixar e . Substituindo na equação:
Assim, temos o vetor .
Esses dois vetores e pertencem ao subespaço e são linearmente independentes, então eles formam uma base para .
Passo 3
Agora, precisamos completar a base para adicionando um terceiro vetor que não pertença a . Para garantir isso, vamos escolher um vetor que não satisfaça a equação .
Vamos escolher, por exemplo, . Vamos verificar se ele está ou não em :