Seja F o subespaço vetorial(plano) de R^3 formado pelos vetores v= (x, y, z) tais que x-2 y+4 z=0. Obtenha uma base u1, u2, u3 subset R^3 tal que u1 e u2 pertençam a F.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos trabalhar com subespaços vetoriais. O problema nos pede para encontrar uma base para o espaço de tal forma que dois dos vetores dessa base pertençam a um subespaço . Esse subespaço é definido por todos os vetores que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que pertencem a esse subespaço e como complementar para formar uma base completa de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço x - 2(1) + 4(0) = 0 implies x - 2 = 0 implies x = 2 . Ele é formado por todos os vetores x - 2(0) + 4(1) = 0 implies x + 4 = 0 implies x = -4 que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor nesse subespaço vai seguir essa relação entre suas componentes.
Para encontrar uma base para , precisamos de dois vetores que estejam dentro de e que sejam linearmente independentes. Vamos encontrar esses vetores escolhendo valores para duas das variáveis e resolvendo para a terceira.
Escolha 1:
Vamos deixar e . Substituindo na equação:
Então, temos o vetor .
Escolha 2:
Agora, vamos deixar e . Substituindo na equação:
Assim, temos o vetor .
Esses dois vetores e pertencem ao subespaço e são linearmente independentes, então eles formam uma base para .

Passo 3

Agora, precisamos completar a base para x - 2y + 4z = 0 - 2(0) + 4(1) = 4 neq 0 adicionando um terceiro vetor que não pertença a . Para garantir isso, vamos escolher um vetor que não satisfaça a equação .
Vamos escolher, por exemplo, . Vamos verificar se ele está ou não em :
Como , o vetor não pertence a .

Resposta

Uma base para , u1 = (2, 1, 0), u2 = (-4, 0, 1), u3 = (0, 0, 1), com e pertencentes a é:

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