Determine um operador linear em cujo núcleo e cuja imagem sejam gerados pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar um operador linear em tal que o núcleo (ou kernel) de seja gerado pelo vetor e a imagem (ou imagem) de seja gerada pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleos e imagens, e vamos construir uma matriz que represente esse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, é gerado pelo vetor , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos entender a imagem de . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum . Aqui, é gerada pelo vetor , ou seja, .
Passo 4
Sabemos pelo Teorema do Núcleo e Imagem que a soma das dimensões do núcleo e da imagem de é igual à dimensão do espaço de partida, que no nosso caso é 4. Como é gerado por um vetor, sua dimensão é 1, e também é gerada por um vetor, sua dimensão é 1. Portanto:
Isso significa que precisamos ajustar nossa interpretação, já que a soma das dimensões não está batendo com a dimensão do espaço. Na verdade, para que a soma das dimensões seja 4, se tem dimensão 1, então deve ter dimensão 3. Isso indica que o núcleo deve ter mais vetores além de .
Passo 5
Vamos então considerar que o núcleo de é gerado pelo vetor e por mais dois vetores que formem uma base para . Vamos escolher, por simplicidade, vetores que não afetem a imagem dada. Por exemplo, podemos escolher e como vetores adicionais para o núcleo. Assim, .
Passo 6
Agora, vamos construir a matriz que representa o operador . Sabemos que o núcleo de é o conjunto de soluções homogêneas , onde é a matriz de . Além disso, a imagem de é gerada pelo vetor , o que significa que todas as colunas de devem ser múltiplos deste vetor.
Portanto, podemos escrever da seguinte forma:
Passo 7
Vamos verificar se essa matriz realmente atende às condições:
A única equação relevante é . As soluções são de fato tridimensionais, como esperado, já que .
Imagem: A imagem de é gerada pelas colunas de . Todas as colunas são múltiplos de , que na verdade não corresponde ao vetor que queríamos. Portanto, precisamos ajustar a matriz.
Passo 8
Vamos corrigir a matriz para que a imagem seja gerada por A = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 . Para isso, as colunas de devem ser múltiplos de . Assim, podemos redefinir da seguinte maneira:
Agora, a imagem está corretamente gerada por .
Resposta
O operador linear T = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 em que satisfaz as condições do exercício é representado pela matriz: