Suponha que
seja autovalor de
, com autovetor
e
um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que
é um autovalor de uma transformação linear
, com autovetor correspondente
. A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da nova transformação
, onde
é um número não nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, além de entender como a multiplicação por um escalar afeta essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma transformação linear
, se existe um vetor
e um escalar
tais que:
então
é um autovalor de
e
é o correspondente autovetor.
Passo 3
Agora, queremos analisar a transformação
. Vamos aplicar
ao mesmo autovetor
:
Como sabemos que
, substituímos:
Passo 4
Observamos que a relação
tem a mesma forma da definição de autovalor e autovetor. Ou seja, para a transformação
, o vetor
continua sendo um autovetor, mas o novo autovalor é
.
Passo 5
Então, concluímos que:
- Os autovalores de
são os autovalores de multiplicados por . - Os autovetores permanecem os mesmos que os de
.
Resposta
Os autovalores de
são
, onde
são os autovalores de
, e os autovetores de
são os mesmos autovetores de
.