Suponha que lambda seja autovalor de T: V V, com autovetor v e alpha um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de S=alpha T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que lambda é um autovalor de uma transformação linear T: V V, com autovetor correspondente v. A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da nova transformação S = alpha T, onde alpha é um número não nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, além de entender como a multiplicação por um escalar afeta essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma transformação linear T, se existe um vetor v neq 0 e um escalar lambda tais que:
T(v) = lambda v
então lambda é um autovalor de T e v é o correspondente autovetor.

Passo 3

Agora, queremos analisar a transformação S = alpha T. Vamos aplicar S ao mesmo autovetor v:
S(v) = alpha T(v)
Como sabemos que T(v) = lambda v, substituímos:
S(v) = alpha (lambda v) = (alpha lambda) v

Passo 4

Observamos que a relação S(v) = (alpha lambda) v tem a mesma forma da definição de autovalor e autovetor. Ou seja, para a transformação S, o vetor v continua sendo um autovetor, mas o novo autovalor é alpha lambda.

Passo 5

Então, concluímos que:
  • Os autovalores de S = alpha T são os autovalores de T multiplicados por alpha.
  • Os autovetores permanecem os mesmos que os de T.

Resposta

Os autovalores de S = alpha T são alpha lambda, onde lambda são os autovalores de T, e os autovetores de S são os mesmos autovetores de T.

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