Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
a) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
b) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
c) O conjunto de todos os polinômios da forma
com as operações
d) O conjunto de todos os números reais positivos com as operações
a) O conjunto de todos os pares ordenados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se certos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Isso envolve entender os espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalar seguindo algumas regras chamadas axiomas. Vamos precisar revisar esses axiomas para cada caso e ver se estão todos valendo ou se algum está falhando.
Passo 2
Vamos começar com a letra a):
a) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
e
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São 8 no total:
- Fechamento da soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que
. - Elemento inverso: Para cada vetor
, existe tal que . - Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar de um vetor está no conjunto.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto em a) satisfaz todos esses axiomas.
-
Fechamento da soma: Se
e estão no conjunto, então também está no conjunto. ✔️ -
Comutatividade da soma:
. ✔️ -
Associatividade da soma:
. ✔️ -
Elemento neutro da soma: Precisamos de um vetor
tal que . Aqui, . ✔️ -
Elemento inverso: Para cada
, existe tal que . ✔️ -
Fechamento da multiplicação por escalar:
. Para e , também está em . ✔️ -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
✔️
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
✔️
- Associatividade da multiplicação por escalar:
Aqui,
a menos que
. ❌
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
O elemento neutro deveria ser
, então
a menos que
. ❌
Passo 5
Como falhamos nos axiomas 9 e 10, o conjunto em a) não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Passo 6
Vamos para a letra b):
b) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
e
Passo 7
Vamos verificar os axiomas novamente:
-
Fechamento da soma: Soma de dois pares está no conjunto. ✔️
-
Comutatividade da soma:
. ✔️ -
Associatividade da soma:
Assim, é associativa. ✔️
- Elemento neutro da soma: Precisamos de um vetor
tal que:
Isso implica que
e
, então
. Então, o elemento neutro seria
. ✔️
- Elemento inverso: Para cada
, precisamos de tal que:
Não conseguimos chegar ao elemento neutro
. ❌
Passo 8
Como falhamos no axioma 5, o conjunto em b) não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Passo 9
Agora, vamos para a letra c):
c) O conjunto de todos os polinômios da forma
com as operações
e
Passo 10
Vamos verificar os axiomas:
-
Fechamento da soma: Soma de dois polinômios de grau 1 resulta em outro polinômio de grau 1. ���️
-
Comutatividade da soma: A soma é comutativa porque
e . ✔️ -
Associatividade da soma: A soma de polinômios é associativa:
✔️
- Elemento neutro da soma: O polinômio
serve como elemento neutro:
✔️
- Elemento inverso: Para cada polinômio
, existe tal que:
✔️
- Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicando um polinômio por um escalar
:
Ainda temos um polinômio da forma
. ✔️
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Isso equivale a
. ✔️
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
✔️
- Associatividade da multiplicação por escalar:
✔️
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
✔️
Passo 11
Todos os axiomas são satisfeitos, então o conjunto em c) é um espaço vetorial com as operações dadas.
Passo 12
Por fim, vamos para a letra d):
d) O conjunto de todos os números reais positivos com as operações
Passo 13
Vamos verificar os axiomas:
-
Fechamento da soma: Se
e são positivos, também é positivo. ✔️ -
Comutatividade da soma:
. ✔️ -
Associatividade da soma:
. ✔️ -
Elemento neutro da soma: Precisamos de um número
tal que . Isso implica . ✔️ -
Elemento inverso: Para cada
, precisamos de tal que . Como , o inverso existe. ✔️ -
Fechamento da multiplicação por escalar:
. Para e , . ✔️ -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Comparando,
, o que é verdadeiro. ✔️
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
✔️
- Associatividade da multiplicação por escalar:
Como
, ✔️
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
✔️
Passo 14
Todos os axiomas são satisfeitos, então o conjunto em d) é um espaço vetorial com as operações dadas.
Resposta
a) Não é um espaço vetorial. Axiomas que falham: 9 (Associatividade da multiplicação por escalar) e 10 (Elemento neutro da multiplicação por escalar).
b) Não é um espaço vetorial. Axioma que falha: 5 (Elemento inverso).
c) É um espaço vetorial.
d) É um espaço vetorial.