Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.
a) O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais com as operações
(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e k(x, y)=(2 k x, 2 k y)
b) O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais com as operações
(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime+1, y+y^prime+1) e k(x, y)=(k x, k y)
c) O conjunto de todos os polinômios da forma a t+b com as operações
(a0+a1 t)+(b0+b1 t)=(a0+b0)+(a1+b1) t e k(a0+a1 t)=(k a0)+(k a1) t
d) O conjunto de todos os números reais positivos com as operações
x+y=x y e k x=x^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se certos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Isso envolve entender os espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalar seguindo algumas regras chamadas axiomas. Vamos precisar revisar esses axiomas para cada caso e ver se estão todos valendo ou se algum está falhando.

Passo 2

Vamos começar com a letra a):
a) O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais com as operações
(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
e
k(x, y) = (2k x, 2k y)

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São 8 no total:
  1. Fechamento da soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da soma: u + v = v + u.
  3. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que u + 0 = u.
  5. Elemento inverso: Para cada vetor u, existe -u tal que u + (-u) = 0.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar de um vetor está no conjunto.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: k(u + v) = ku + kv.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: (k + l)u = ku + lu.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: k(lu) = (kl)u.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1u = u.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto em a) satisfaz todos esses axiomas.
  1. Fechamento da soma: Se (x, y) e (x', y') estão no conjunto, então (x + x', y + y') também está no conjunto. ✔️
  2. Comutatividade da soma: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') = (x' + x, y' + y) = (x', y') + (x, y). ✔️
  3. Associatividade da soma: [(x, y) + (x', y')] + (x'', y'') = (x + x' + x'', y + y' + y'') = (x, y) + [(x', y') + (x'', y'')]. ✔️
  4. Elemento neutro da soma: Precisamos de um vetor (0, 0) tal que (x, y) + (0, 0) = (x, y). Aqui, (x + 0, y + 0) = (x, y). ✔️
  5. Elemento inverso: Para cada (x, y), existe (-x, -y) tal que (x, y) + (-x, -y) = (0, 0). ✔️
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: k(x, y) = (2k x, 2k y). Para k in R e (x, y) in R^2, (2k x, 2k y) também está em R^2. ✔️
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k[(x, y) + (x', y')] = k(x + x', y + y') = (2k(x + x'), 2k(y + y'))
= (2k x + 2k x', 2k y + 2k y') = (2k x, 2k y) + (2k x', 2k y') = k(x, y) + k(x', y')
✔️
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + l)(x, y) = (2(k + l)x, 2(k + l)y) = (2k x + 2l x, 2k y + 2l y) = k(x, y) + l(x, y)
✔️
  1. Associatividade da multiplicação por escalar:
k(l(x, y)) = k(2l x, 2l y) = (2k(2l x), 2k(2l y)) = (4kl x, 4kl y)
(kl)(x, y) = (2(kl)x, 2(kl)y) = (2kl x, 2kl y)
Aqui, 4kl x neq 2kl x a menos que kl = 0. ❌
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1(x, y) = (2 cdot 1 cdot x, 2 cdot 1 cdot y) = (2x, 2y)
O elemento neutro deveria ser (x, y), então (2x, 2y) neq (x, y) a menos que x = y = 0. ❌

Passo 5

Como falhamos nos axiomas 9 e 10, o conjunto em a) não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 6

Vamos para a letra b):
b) O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais com as operações
(x, y) + (x', y') = (x + x' + 1, y + y' + 1)
e
k(x, y) = (k x, k y)

Passo 7

Vamos verificar os axiomas novamente:
  1. Fechamento da soma: Soma de dois pares está no conjunto. ✔️
  2. Comutatividade da soma: (x, y) + (x', y') = (x + x' +1, y + y' +1) = (x' + x +1, y' + y +1) = (x', y') + (x, y). ✔️
  3. Associatividade da soma:
[(x, y) + (x', y')] + (x'', y'') = (x + x' +1 + x'' +1, y + y' +1 + y'' +1) = (x + x' + x'' + 2, y + y' + y'' + 2)
(x, y) + [(x', y') + (x'', y'')] = (x + (x' + x'' +1) +1, y + (y' + y'' +1) +1) = (x + x' + x'' + 2, y + y' + y'' + 2)
Assim, é associativa. ✔️
  1. Elemento neutro da soma: Precisamos de um vetor (ex, ey) tal que:
(x, y) + (ex, ey) = (x + ex +1, y + ey +1) = (x, y)
Isso implica que ex +1 = 0 e ey +1 = 0, então ex = ey = -1. Então, o elemento neutro seria (-1, -1). ✔️
  1. Elemento inverso: Para cada (x, y), precisamos de (-x, -y) tal que:
(x, y) + (-x, -y) = (x + (-x) +1, y + (-y) +1) = (1, 1) neq ( -1, -1 )
Não conseguimos chegar ao elemento neutro (-1, -1). ❌

Passo 8

Como falhamos no axioma 5, o conjunto em b) não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 9

Agora, vamos para a letra c):
c) O conjunto de todos os polinômios da forma a t + b com as operações
(a0 + a1 t) + (b0 + b1 t) = (a0 + b0) + (a1 + b1) t
e
k(a0 + a1 t) = (k a0) + (k a1) t

Passo 10

Vamos verificar os axiomas:
  1. Fechamento da soma: Soma de dois polinômios de grau 1 resulta em outro polinômio de grau 1. ���️
  2. Comutatividade da soma: A soma é comutativa porque a0 + b0 = b0 + a0 e a1 + b1 = b1 + a1. ✔️
  3. Associatividade da soma: A soma de polinômios é associativa:
[(a0 + a1 t) + (b0 + b1 t)] + (c0 + c1 t) = (a0 + b0 + c0) + (a1 + b1 + c1) t
(a0 + a1 t) + [(b0 + b1 t) + (c0 + c1 t)] = (a0 + b0 + c0) + (a1 + b1 + c1) t
✔️
  1. Elemento neutro da soma: O polinômio 0 + 0 t = 0 serve como elemento neutro:
(a0 + a1 t) + (0 + 0 t) = (a0 + 0) + (a1 + 0) t = a0 + a1 t
✔️
  1. Elemento inverso: Para cada polinômio a t + b, existe -a t - b tal que:
(a t + b) + (-a t - b) = 0 + 0 t
✔️
  1. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicando um polinômio por um escalar k:
k(a t + b) = (k a) t + (k b)
Ainda temos um polinômio da forma a t + b. ✔️
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k[(a t + b) + (c t + d)] = k[(a + c) t + (b + d)] = (k(a + c)) t + k(b + d)
= (k a + k c) t + (k b + k d) = (k a) t + (k b) + (k c) t + (k d) = (k a t + k b) + (k c t + k d)
Isso equivale a k(a t + b) + k(c t + d). ✔️
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + l)(a t + b) = ((k + l) a) t + ((k + l) b) = (k a + l a) t + (k b + l b)
= k(a t + b) + l(a t + b)
✔️
  1. Associatividade da multiplicação por escalar:
k(l(a t + b)) = k((l a) t + (l b)) = (k l a) t + (k l b)
(k l)(a t + b) = (k l a) t + (k l b)
✔️
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1(a t + b) = (1 a) t + (1 b) = a t + b
✔️

Passo 11

Todos os axiomas são satisfeitos, então o conjunto em c) é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 12

Por fim, vamos para a letra d):
d) O conjunto de todos os números reais positivos com as operações
x + y = x cdot y e kx = x^k

Passo 13

Vamos verificar os axiomas:
  1. Fechamento da soma: Se x e y são positivos, x cdot y também é positivo. ✔️
  2. Comutatividade da soma: x + y = x cdot y = y cdot x = y + x. ✔️
  3. Associatividade da soma: (x + y) + z = (x y) z = x(y z) = x + (y + z). ✔️
  4. Elemento neutro da soma: Precisamos de um número e tal que x + e = x cdot e = x. Isso implica e = 1. ✔️
  5. Elemento inverso: Para cada x > 0, precisamos de x^-1 tal que x cdot x^-1 = 1. Como x^-1 = 1x > 0, o inverso existe. ✔️
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: k x = x^k. Para x > 0 e k in R, x^k > 0. ✔️
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k(x + y) = k(x y) = (x y)^k = x^k y^k
k x + k y = x^k y^k
Comparando, (x y)^k = x^k y^k, o que é verdadeiro. ✔️
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + l)x = x^k + l = x^k x^l = k x + l x
✔️
  1. Associatividade da multiplicação por escalar:
k(l x) = k(x^l) = (x^l)^k = x^l k
(k l)x = x^k l
Como x^l k = x^k l, ✔️
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1 x = x^1 = x
✔️

Passo 14

Todos os axiomas são satisfeitos, então o conjunto em d) é um espaço vetorial com as operações dadas.

Resposta

a) Não é um espaço vetorial. Axiomas que falham: 9 (Associatividade da multiplicação por escalar) e 10 (Elemento neutro da multiplicação por escalar).
b) Não é um espaço vetorial. Axioma que falha: 5 (Elemento inverso).
c) É um espaço vetorial.
d) É um espaço vetorial.

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