Determine, se existir, a inversa da Matriz A em cada caso: A=[ccc2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a inversa da matriz 2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1 . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos da matriz são:
det(A) = 2(-1 cdot (-1) - 0 cdot 3) - 0(4 cdot (-1) - 0 cdot 2) + 0(4 cdot 3 - (-1) cdot 2)
Substituindo os valores de det(A) = 2(1 - 0) - 0(-4 - 0) + 0(12 + 2) = 2 cdot 1 = 2 na fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos descobrir qual é essa inversa.

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde é a adjunta de . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 5

Vamos calcular a matriz dos cofatores de Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado tirando o determinante do menor correspondente e aplicando um sinal alternado.
Calculando cada cofator:
C11 &= (+1) cdot det -1 & 0 3 & -1 = 1 cdot (1) = 1 C12 &= (-1) cdot det 4 & 0 2 & -1 = -1 cdot (-4) = 4 C13 &= (+1) cdot det 4 & -1 2 & 3 = 1 cdot (12 + 2) = 14 C21 &= (-1) cdot det 0 & 0 3 & -1 = -1 cdot (0) = 0 C22 &= (+1) cdot det 2 & 0 2 & -1 = 1 cdot (-2) = -2 C23 &= (-1) cdot det 2 & 0 2 & 3 = -1 cdot (6) = -6 C31 &= (+1) cdot det 0 & 0 -1 & 0 = 1 cdot (0) = 0 C32 &= (-1) cdot det 2 & 0 4 & 0 = -1 cdot (0) = 0 C33 &= (+1) cdot det 2 & 0 4 & -1 = 1 cdot (-2) = -2
Onde:
Cof(A) = 1 & 4 & 14 0 & -2 & -6 0 & 0 & -2
Então:

Passo 6

Agora, a adjunta adj(A) = 1 & 0 & 0 4 & -2 & 0 14 & -6 & -2 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 12 cdot 1 & 0 & 0 4 & -2 & 0 14 & -6 & -2 = 12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 7 & -3 & -1

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 7 & -3 & -1 é:

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