Em cada caso:
(b)
i) Determine as matrizes F e R escalonada reduzida, linha equivalente a A, tais que F cdot A=R
ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo determine a inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos dá uma matriz e pede para:
i) Encontrar as matrizes e , onde é a forma escalonada reduzida de e .
ii) Verificar se é invertível. Se for, encontrar a inversa de .
Para isso, vamos usar conceitos como escalonamento de matrizes, operações elementares e determinantes para verificar a invertibilidade.
Nosso objetivo é transformar na forma escalonada reduzida usando operações elementares de linha. Essas operações incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Vamos começar aplicando operações para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna).
a) Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para zerar o elemento R2 = R2 - 2 cdot R1 :
1 & 3 & 0 0 & -1 & -1 0 & 1 & 2
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento R2 = -1 cdot R2 , que já é zero. Então, passamos para o próximo pivô, que é 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2 .
b) Para tornar o pivô , multiplicamos a segunda linha por -1:
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô R3 = R3 - R2 na terceira linha.
c) Subtrair a segunda linha da terceira linha:
1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Passo 6
Finalmente, vamos zerar os elementos acima dos pivôs para obter a forma reduzida.
a) Subtrair 3 vezes a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - 3 cdot R2
1 & 0 & -3 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
b) Subtrair a terceira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R3
1 & 0 & -3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
c) Adicionar 3 vezes a terceira linha à primeira linha:
R1 = R1 + 3 cdot R3
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 7
Agora que temos a forma escalonada reduzida , podemos identificar a matriz que realizou todas essas operações. Cada operação aplicada pode ser representada por uma matriz de operação elementar, e é o produto dessas matrizes na ordem inversa das operações realizadas.
Passo 8
Para a segunda parte, precisamos verificar se det(A) = 1 cdot (5 cdot 2 - (-1) cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 2 - (-1) cdot 0) + 0 cdot (2 cdot 1 - 5 cdot 0) = 1 cdot (10 + 1) - 3 cdot 4 + 0 = 11 - 12 + 0 = -1 é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.