Seja
f(x) = { (3 - x) / 2 se x < 1, 1 / raiz(x) se x ≥ 1 }
f é derivável em 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . A pergunta é: essa função é contínua e derivável em ? Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites, continuidade e derivadas. Vamos precisar calcular os limites laterais da função em e também as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e se esses limites também são iguais ao valor de .
Quando :
Então, o limite pela esquerda é:
Quando :
Então, o limite pela direita é:
E o valor da função em é:
Como todos esses valores são iguais, é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é derivável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda ( ):
A derivada é:
Derivada pela direita ( ):
A derivada é:
Substituindo :
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais ( ), a função é derivável em .

Resposta

A função é contínua e derivável em .

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