Seja
é derivável em 1 ?
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de
. A pergunta é: essa função é contínua e derivável em
? Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites, continuidade e derivadas. Vamos precisar calcular os limites laterais da função em
e também as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e se esses limites também são iguais ao valor de
.
Quando
:
Então, o limite pela esquerda é:
Quando
:
Então, o limite pela direita é:
E o valor da função em
é:
Como todos esses valores são iguais,
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é derivável em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda (
):
A derivada é:
Derivada pela direita (
):
A derivada é:
Substituindo
:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais (
), a função
é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua e derivável em
.